Cálculo Integral

Antiderivada e Integral Indefinida

Concepto de Antiderivada

Una función \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\) si \(F'(x) = f(x)\). La integral indefinida representa el conjunto de todas las antiderivadas: \(\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)\) donde \(C\) es la constante de integración.

Reglas básicas

• Potencia: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (para \(n \neq -1\)).
• Logarítmica: \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\).
• Exponencial: \(\int e^x \, dx = e^x + C\).
• Trigonométricas: \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\) y \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\).

Teorema Fundamental del Cálculo

Establece la conexión entre la derivación y la integración.

Primera parte

Si \(f\) es continua en \([a, b]\), la función \(g(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) es continua en \([a, b]\) y diferenciable en \((a, b)\), y \(g'(x) = f(x)\).

Segunda parte (Evaluación)

\(\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)\) donde \(F\) es cualquier antiderivada de \(f\).

Técnicas de integración

(Pendiente de expansión detallada) - Sustitución (Cambio de variable). - Integración por partes. - Fracciones parciales. - Sustitución trigonométrica.

Glosario de variables