Cálculo Diferencial
Concepto de derivada
Definición por Límite
La derivada de \(f(x)\) en \(x = a\) es la tasa de cambio instantánea de la función: \(\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)\)
Geométricamente, \(f'(a)\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a, f(a))\).
Interpretación Física
Si \(s(t)\) es la función de posición, entonces: - \(v(t) = s'(t)\) es la velocidad instantánea. - \(a(t) = v'(t) = s''(t)\) es la aceleración.
Reglas de derivación
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Constante | \(\frac{d}{dx}[c] = 0\) |
| Suma | \((f \pm g)' = f' \pm g'\) |
| Producto | \((f \cdot g)' = f'g + fg'\) |
| Cociente | \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) |
| Cadena | \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
Derivadas de funciones elementales
- \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
- \(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
- \(\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}\)
- \(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
- \(\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x\)
Optimización y análisis de curvas
(Pendiente de expansión sobre máximos, mínimos y puntos de inflexión)
Derivación Implícita y Logarítmica
Se utilizan cuando \(y\) no está despejada o cuando la función es de la forma \(f(x)^{g(x)}\).
Glosario de variables
| Símbolo | Nombre | Tipo |
|---|---|---|
| \(f'(x)\) | Primera derivada | función |
| \(f''(x)\) | Segunda derivada | función |
| \(\frac{dy}{dx}\) | Notación de Leibniz | operador |
| \(h\) | Incremento infinitesimal | variable |