Funciones y Límites

Tipos de funciones y composición

(Pendiente de expansión detallada sobre funciones base)

Sucesiones y series

(Pendiente de expansión detallada)

Límites y continuidad

Concepto de Límite

El límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) es \(L\) si los valores de \(f(x)\) se aproximan arbitrariamente a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\) (sin ser igual a \(a\)).

Definición Formal (Épsilon-Delta)

Límites Laterales

El límite existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales: \(\(\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\)\)

Técnicas de Evaluación y Formas Indeterminadas

Cuando la sustitución directa produce formas como \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), se utilizan técnicas como: - Factorización y cancelación. - Racionalización (multiplicación por el conjugado). - Límites trigonométricos fundamentales: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Continuidad

Una función \(f\) es continua en \(a\) si cumple tres condiciones: 1. \(f(a)\) está definida. 2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe. 3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Tipos de Discontinuidad

• Removible: El límite existe pero el punto no o es diferente.
• Salto: Los límites laterales existen pero son diferentes.
• Infinita: Al menos un límite lateral es \(\pm\infty\) (asíntota vertical).

Teorema del Valor Intermedio (TVI)

Si \(f\) es continua en \([a, b]\) y \(k\) es cualquier valor entre \(f(a)\) y \(f(b)\), entonces existe al menos un \(c \in (a, b)\) tal que \(f(c) = k\).

Glosario de variables