Álgebra abstracta

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas por sí mismas, prescindiendo de la naturaleza de los elementos. Se enfoca en las propiedades de las operaciones y las leyes que las rigen.

Teoría de grupos

Un grupo es un conjunto G con una operación \(*\) que cumple: 1. Asociatividad: \((a*b)*c = a*(b*c)\). 2. Elemento neutro: Existe \(e\) tal que \(a*e = a\). 3. Elemento inverso: Existe \(a^{-1}\) tal que \(a*a^{-1} = e\). Si además es conmutativo, se llama grupo abeliano.

Teoría de anillos

Un anillo es una estructura con dos operaciones (suma y producto). Debe ser un grupo abeliano bajo la suma y cumplir la asociatividad y distributividad bajo el producto. Ejemplos comunes son los números enteros \(\mathbb{Z}\) y los polinomios.

Campos y extensiones de Galois

Un campo es un anillo donde todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. La teoría de Galois estudia las raíces de los polinomios y sus simetrías, siendo fundamental para demostrar la imposibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado por radicales.

Glosario de variables