Álgebra Lineal: Matrices y Espacios Vectoriales

El álgebra lineal es el estudio de vectores, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Es una herramienta fundamental en física, ingeniería e informática.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en forma matricial como \(Ax = b\). Se resuelve comúnmente mediante la Eliminación de Gauss-Jordan.

Matrices y determinantes

Definición de Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas. \(\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)\)

Operaciones Básicas

• Suma: \(A + B\) (elemento a elemento, mismas dimensiones).
• Multiplicación por escalar: \(cA\).
• Producto de matrices: El producto \(AB\) solo es posible si el número de columnas de \(A\) es igual al de filas de \(B\).

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada indica si es invertible. - Para \(2 \times 2\): \(\det(A) = ad - bc\). - Si \(\det(A) \neq 0\), la matriz es no singular (invertible).

Matriz Inversa y Transpuesta

• Transpuesta (\(A^T\)): Se intercambian filas por columnas.
• Inversa (\(A^{-1}\)): Matriz tal que \(AA^{-1} = I\).

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos (vectores) cerrados bajo la suma y la multiplicación por un escalar, cumpliendo 10 axiomas fundamentales.

Conceptos Clave

• Combinación lineal: \(v = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n\).
• Independencia lineal: Un conjunto de vectores es independiente si ninguno puede escribirse como combinación de los otros.
• Base: Conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio.

Transformaciones lineales

(Pendiente de expansión detallada)

Glosario de variables