Teoría: Solución Numérica de EDO

1. Introducción

1.1 Problema de Valor Inicial (PVI)

Dado el problema: $$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$

Buscamos aproximar $y(x)$ en puntos discretos $x_1, x_2, ..., x_n$.

1.2 Existencia y Unicidad

Teorema de Picard: Si $f(x,y)$ es continua y Lipschitz en $y$ en una región $R$, entonces existe solución única.

1.3 Notación

$h = x_{n+1} - x_n$: tamaño de paso
$y_n$: aproximación de $y(x_n)$
$f_n = f(x_n, y_n)$

2. Método de Euler

2.1 Derivación Geométrica

La pendiente de la recta tangente en $(x_n, y_n)$ es $f(x_n, y_n)$.

Avanzando un paso $h$: $$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$

2.2 Derivación por Serie de Taylor

$$y(x_{n+1}) = y(x_n) + h y'(x_n) + \frac{h^2}{2}y''(\xi)$$

Truncando en primer orden: $$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) + O(h^2)$$

2.3 Error

Error de truncamiento local: $O(h^2)$
Error global acumulado: $O(h)$

2.4 Euler Implícito

$$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_{n+1}, y_{n+1})$$

Requiere resolver ecuación (posiblemente no lineal) en cada paso.

Ventaja: Mayor estabilidad.

3. Método de Heun (Euler Mejorado)

3.1 Idea

Usar promedio de pendientes al inicio y fin del intervalo.

3.2 Fórmulas

Predictor (Euler): $$\tilde{y}_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$

Corrector (promedio): $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\left[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1})\right]$$

3.3 Error

Error de truncamiento local: $O(h^3)$
Error global: $O(h^2)$

4. Métodos Runge-Kutta

4.1 Forma General

$$y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{s} b_i k_i$$

donde cada $k_i$ es una evaluación de $f$ en puntos intermedios.

4.2 Runge-Kutta de Orden 2 (RK2)

Punto medio: $$k_1 = f(x_n, y_n)$$ $$k_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right)$$ $$y_{n+1} = y_n + h \cdot k_2$$

Heun (forma RK2): $$k_1 = f(x_n, y_n)$$ $$k_2 = f(x_n + h, y_n + hk_1)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)$$

4.3 Runge-Kutta de Orden 4 (RK4)

El método más utilizado:

$$k_1 = f(x_n, y_n)$$ $$k_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right)$$ $$k_3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right)$$ $$k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

4.4 Tabla de Butcher

Representación compacta de métodos RK:

RK4:

0   |
1/2 | 1/2
1/2 | 0   1/2
1   | 0   0   1
----|-------------
    | 1/6 1/3 1/3 1/6

4.5 Error de RK4

Error de truncamiento local: $O(h^5)$
Error global: $O(h^4)$

5. Métodos Multipaso

5.1 Idea

Usar información de varios pasos anteriores para mayor eficiencia.

5.2 Adams-Bashforth (Explícito)

2 pasos: $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(3f_n - f_{n-1})$$

4 pasos: $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3})$$

5.3 Adams-Moulton (Implícito)

2 pasos: $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{12}(5f_{n+1} + 8f_n - f_{n-1})$$

4 pasos: $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}(9f_{n+1} + 19f_n - 5f_{n-1} + f_{n-2})$$

5.4 Predictor-Corrector

Combinar Adams-Bashforth (predictor) con Adams-Moulton (corrector):

Predecir: $\tilde{y}_{n+1}$ con Adams-Bashforth
Evaluar: $\tilde{f}{n+1} = f(x{n+1}, \tilde{y}_{n+1})$
Corregir: $y_{n+1}$ con Adams-Moulton

5.5 Arranque

Los métodos multipaso necesitan valores iniciales $y_1, y_2, ...$

Solución: Usar RK4 para los primeros pasos.

6. Sistemas de EDO

6.1 Forma Vectorial

Sistema de $m$ ecuaciones: $$\frac{d\mathbf{y}}{dx} = \mathbf{f}(x, \mathbf{y}), \quad \mathbf{y}(x_0) = \mathbf{y}_0$$

donde $\mathbf{y} = (y_1, y_2, ..., y_m)^T$

6.2 Euler para Sistemas

$$\mathbf{y}_{n+1} = \mathbf{y}_n + h \cdot \mathbf{f}(x_n, \mathbf{y}_n)$$

Componente a componente: $$y_{i,n+1} = y_{i,n} + h \cdot f_i(x_n, y_{1,n}, ..., y_{m,n})$$

6.3 Reducción de Orden

EDO de orden $m$: $$y^{(m)} = g(x, y, y', ..., y^{(m-1)})$$

Se convierte en sistema introduciendo: $$z_1 = y, \quad z_2 = y', \quad ..., \quad z_m = y^{(m-1)}$$

Ejemplo: $y'' + 3y' + 2y = 0$

Sistema: $$z_1' = z_2$$ $$z_2' = -3z_2 - 2z_1$$

7. Análisis de Error

7.1 Error de Truncamiento Local

Error en un solo paso, asumiendo datos exactos.

Método	Error local
Euler	$O(h^2)$
Heun/RK2	$O(h^3)$
RK4	$O(h^5)$

7.2 Error Global

Error acumulado después de $N = \frac{x_f - x_0}{h}$ pasos.

$$E_{global} \approx N \cdot E_{local} = \frac{x_f - x_0}{h} \cdot O(h^{p+1}) = O(h^p)$$

7.3 Estimación del Error

Comparación de pasos:

Si $y_h$ es la solución con paso $h$ y $y_{h/2}$ con paso $h/2$: $$E \approx \frac{y_{h/2} - y_h}{2^p - 1}$$

donde $p$ es el orden del método.

8. Estabilidad

8.1 Ecuación de Prueba

$$y' = \lambda y, \quad \lambda < 0$$

Solución exacta: $y(x) = y_0 e^{\lambda x} \to 0$

8.2 Análisis para Euler Explícito

$$y_{n+1} = y_n + h\lambda y_n = (1 + h\lambda)y_n$$

Para convergencia a cero: $|1 + h\lambda| < 1$

Región de estabilidad: $-2 < h\lambda < 0$

Restricción: $h < \frac{2}{|\lambda|}$

8.3 Euler Implícito

$$y_{n+1} = y_n + h\lambda y_{n+1}$$ $$y_{n+1} = \frac{y_n}{1 - h\lambda}$$

Para $\lambda < 0$: $\left|\frac{1}{1-h\lambda}\right| < 1$ siempre.

Incondicionalmente estable.

8.4 EDO Rígidas (Stiff)

Sistema con componentes de escalas temporales muy diferentes.

Ejemplo: $\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = -1000$

Métodos explícitos: $h$ limitado por componente rápida.

Solución: Usar métodos implícitos.

9. Control Adaptativo del Paso

9.1 Idea

Ajustar $h$ para mantener error dentro de tolerancia.

9.2 Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)

Calcula simultáneamente aproximaciones de orden 4 y 5: $$\text{Error} \approx |y_5 - y_4|$$

Ajuste: $$h_{nuevo} = h \cdot \left(\frac{\text{tol}}{\text{Error}}\right)^{1/5}$$

9.3 Criterio

Si Error > tol: rechazar paso, reducir $h$
Si Error < tol: aceptar paso, posiblemente aumentar $h$