Teoría: Interpolación

1. Introducción

1.1 El Problema de Interpolación

Dados $n+1$ puntos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ con $x_i$ distintos, encontrar una función $P(x)$ tal que: $$P(x_i) = y_i \quad \text{para } i = 0, 1, ..., n$$

1.2 Teorema de Existencia y Unicidad

Teorema: Dados $n+1$ puntos con abscisas distintas, existe un único polinomio de grado menor o igual a $n$ que los interpola.

Demostración de unicidad: Si $P$ y $Q$ son dos polinomios de grado $\leq n$ que interpolan los mismos puntos, entonces $P - Q$ tiene grado $\leq n$ y se anula en $n+1$ puntos, por lo que $P - Q = 0$.

2. Interpolación de Lagrange

2.1 Polinomios Base de Lagrange

$$L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

Propiedad fundamental: $$L_i(x_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}$$

2.2 Polinomio Interpolante de Lagrange

$$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

Verificación: $P_n(x_k) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x_k) = y_k \cdot 1 = y_k$ ✓

2.3 Ejemplo: 3 Puntos

Dados $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$:

$$L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}$$

$$L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = \frac{x(x-2)}{-1}$$

$$L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2}$$

$$P_2(x) = 1 \cdot L_0 + 3 \cdot L_1 + 2 \cdot L_2 = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{2}x + 1$$

3. Diferencias Divididas

3.1 Definición Recursiva

Diferencia dividida de orden 0: $$f[x_i] = f(x_i) = y_i$$

Diferencia dividida de orden 1: $$f[x_i, x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}] - f[x_i]}{x_{i+1} - x_i}$$

Diferencia dividida de orden $k$: $$f[x_i, x_{i+1}, ..., x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1}, ..., x_{i+k}] - f[x_i, ..., x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i}$$

3.2 Tabla de Diferencias Divididas

3.3 Propiedades

1. Simetría: $f[x_0, x_1, ..., x_n]$ es invariante ante permutaciones de los argumentos.

2. Relación con derivadas: Si $f \in C^n$, entonces: $$f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$ para algún $\xi$ en el intervalo.

4. Forma de Newton del Polinomio Interpolante

4.1 Fórmula General

$$P_n(x) = f[x_0] + fx_0, x_1(x - x_1) + ...$$

$$= \sum_{k=0}^{n} f[x_0, ..., x_k] \prod_{j=0}^{k-1}(x - x_j)$$

4.2 Ventaja Principal

Agregar un nuevo punto $(x_{n+1}, y_{n+1})$ solo requiere calcular $f[x_0, ..., x_{n+1}]$ y agregar un término: $$P_{n+1}(x) = P_n(x) + f[x_0, ..., x_{n+1}]\prod_{j=0}^{n}(x - x_j)$$

5. Datos Equiespaciados

5.1 Diferencias Finitas

Si $x_i = x_0 + ih$ (equiespaciado):

Diferencia progresiva: $$\Delta f_i = f_{i+1} - f_i$$ $$\Delta^k f_i = \Delta^{k-1} f_{i+1} - \Delta^{k-1} f_i$$

Diferencia regresiva: $$\nabla f_i = f_i - f_{i-1}$$

5.2 Fórmula de Newton Progresiva

Con $s = \frac{x - x_0}{h}$:

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{s}{k} \Delta^k f_0$$

donde $\binom{s}{k} = \frac{s(s-1)(s-2)...(s-k+1)}{k!}$

5.3 Fórmula de Newton Regresiva

Con $s = \frac{x - x_n}{h}$:

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{-s}{k}(-1)^k \nabla^k f_n$$

6. Error de Interpolación

6.1 Teorema del Error

Si $f \in C^{n+1}[a, b]$ y $P_n$ es el polinomio interpolante en $x_0, ..., x_n \in [a, b]$, entonces:

$$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x - x_i)$$

para algún $\xi_x$ entre $\min{x, x_0, ..., x_n}$ y $\max{x, x_0, ..., x_n}$.

6.2 Cota del Error

$$|f(x) - P_n(x)| \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\left|\prod_{i=0}^{n}(x - x_i)\right|$$

donde $M_{n+1} = \max_{a \leq x \leq b} |f^{(n+1)}(x)|$

6.3 Fenómeno de Runge

La función $f(x) = \frac{1}{1+25x^2}$ interpolada con puntos equiespaciados en $[-1, 1]$ muestra oscilaciones crecientes cerca de los extremos cuando $n$ aumenta.

Solución: Usar nodos de Chebyshev: $$x_k = \cos\left(\frac{2k+1}{2(n+1)}\pi\right), \quad k = 0, 1, ..., n$$

7. Splines Cúbicos

7.1 Definición

Un spline cúbico $S(x)$ en $[a, b]$ con nodos $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$ es una función que:

1. En cada subintervalo $[x_i, x_{i+1}]$, $S(x)$ es un polinomio de grado $\leq 3$
2. $S$, $S'$ y $S''$ son continuas en $[a, b]$
3. $S(x_i) = y_i$ para todo $i$

7.2 Construcción

En cada intervalo: $S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3$

Condiciones: - Interpolación: $4n$ incógnitas (coeficientes), $n$ condiciones - Continuidad de $S$: $n-1$ condiciones - Continuidad de $S'$: $n-1$ condiciones - Continuidad de $S''$: $n-1$ condiciones

Total: $n + 3(n-1) = 4n - 3$ condiciones → Faltan 2

7.3 Condiciones de Frontera

Spline natural: $S''(x_0) = S''(x_n) = 0$

Spline sujeto: $S'(x_0) = f'_0$, $S'(x_n) = f'_n$

Spline periódico: $S'(x_0) = S'(x_n)$, $S''(x_0) = S''(x_n)$

7.4 Sistema de Ecuaciones

El cálculo de los $c_i = \frac{S''(x_i)}{2}$ lleva a un sistema tridiagonal.

8. Interpolación de Hermite

8.1 Planteamiento

Dados los puntos y sus derivadas $(x_i, y_i, y'_i)$ para $i = 0, ..., n$, encontrar un polinomio $H(x)$ de grado $\leq 2n+1$ tal que: $$H(x_i) = y_i, \quad H'(x_i) = y'_i$$

8.2 Forma de Newton para Hermite

Usar diferencias divididas "ampliadas" donde puntos repetidos implican derivadas: $$f[x_i, x_i] = f'(x_i)$$

9. Aplicaciones

1. Gráficos por computadora: Curvas suaves (Bézier, B-splines)
2. Procesamiento de señales: Reconstrucción de señales
3. Tablas numéricas: Estimación entre valores tabulados
4. Integración y diferenciación numérica: Base para otros métodos