Teoría: Raíces de Ecuaciones

1. Introducción

El problema de encontrar raíces consiste en hallar valores $x^$ tales que $f(x^) = 0$.

Ejemplos de ecuaciones sin solución analítica: - $x - e^{-x} = 0$ - $x^3 - 2x - 5 = 0$ - $\cos(x) = x$

2. Fundamentos Teóricos

2.1 Teorema del Valor Intermedio

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Este teorema fundamenta los métodos cerrados.

2.2 Teorema del Punto Fijo

Sea $g: [a, b] \to [a, b]$ continua. Si $|g'(x)| \leq L < 1$ para todo $x \in (a, b)$, entonces: 1. Existe un único punto fijo $p$ tal que $g(p) = p$ 2. La sucesión $x_{n+1} = g(x_n)$ converge a $p$ para cualquier $x_0 \in [a, b]$

2.3 Series de Taylor

Base teórica del método de Newton-Raphson:

$$f(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) + \frac{f''(\xi)}{2}(x - x_n)^2$$

Si $x^$ es raíz, aproximamos: $$0 \approx f(x_n) + f'(x_n)(x^ - x_n)$$ $$x^* \approx x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

3. Métodos Cerrados

3.1 Método de Bisección

Idea: Dividir el intervalo $[a, b]$ repetidamente por la mitad.

Algoritmo: 1. Verificar $f(a) \cdot f(b) < 0$ 2. Calcular $c = \frac{a + b}{2}$ 3. Si $f(c) = 0$ → terminar 4. Si $f(a) \cdot f(c) < 0$ → $b = c$ 5. Si no → $a = c$ 6. Repetir hasta convergencia

Análisis de error: Después de $n$ iteraciones: $$|x_n - x^*| \leq \frac{b - a}{2^n}$$

Número de iteraciones requeridas: $$n \geq \frac{\ln(b - a) - \ln(\varepsilon)}{\ln(2)}$$

3.2 Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

Idea: En lugar del punto medio, usar la intersección de la secante con el eje $x$.

$$c = b - f(b)\frac{b - a}{f(b) - f(a)}$$

Ventaja: Generalmente más rápido que bisección. Desventaja: Puede tener convergencia lenta si un extremo queda fijo.

4. Métodos Abiertos

4.1 Método de Newton-Raphson

Derivación geométrica: La tangente a $f$ en $x_n$ corta al eje $x$ en $x_{n+1}$.

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Convergencia cuadrática: $$e_{n+1} \approx \frac{f''(x^)}{2f'(x^)} e_n^2$$

Condiciones de convergencia: - $f'(x^) \neq 0$ (raíz simple) - $x_0$ suficientemente cerca de $x^$ - $f'' continua$

Raíces múltiples: Si $x^*$ tiene multiplicidad $m$: $$x_{n+1} = x_n - m\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

4.2 Método de la Secante

Idea: Aproximar $f'(x_n)$ usando diferencias finitas: $$f'(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}$$

Fórmula: $$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

Orden de convergencia: $p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ (número áureo)

Ventaja: No requiere calcular $f'(x)$.

4.3 Método de Punto Fijo

Idea: Reescribir $f(x) = 0$ como $x = g(x)$ e iterar.

$$x_{n+1} = g(x_n)$$

Ejemplo: Para $x^3 - 2x - 5 = 0$: - $g_1(x) = \frac{x^3 - 5}{2}$ - $g_2(x) = \sqrt[3]{2x + 5}$ - $g_3(x) = \sqrt{\frac{5}{x-2}}$

Convergencia: Depende de $|g'(x^)|$: - $|g'(x^)| < 1$: Converge - $|g'(x^*)| > 1$: Diverge

5. Análisis de Convergencia

5.1 Error y Orden de Convergencia

Definición: Un método tiene orden de convergencia $p$ si: $$\lim_{n \to \infty} \frac{|e_{n+1}|}{|e_n|^p} = C \neq 0$$

donde $e_n = x_n - x^*$.

5.2 Eficiencia Computacional

El índice de eficiencia mide el costo por iteración: $$EI = p^{1/k}$$

donde $k$ es el número de evaluaciones de función por iteración.

6. Problemas Comunes

6.1 Raíces Múltiples

Si $f(x) = (x - x^)^m h(x)$ con $h(x^) \neq 0$: - Newton-Raphson tiene convergencia lineal - Solución: Usar $u(x) = \frac{f(x)}{f'(x)}$ (Newton modificado)

6.2 Divergencia

Causas comunes: 1. $x_0$ muy lejos de $x^*$ 2. $f'(x) \approx 0$ cerca de la raíz 3. Oscilación alrededor de puntos de inflexión

6.3 Criterios de Paro

1. Tolerancia en $x$: $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$
2. Tolerancia en $f$: $|f(x_n)| < \delta$
3. Número máximo de iteraciones: $n > N_{max}$

7. Aplicaciones

1. Ingeniería: Encontrar puntos de equilibrio
2. Física: Resolver ecuaciones trascendentes
3. Economía: Calcular tasas de interés (TIR)
4. Química: Equilibrio de reacciones

Ejemplo (TIR): Resolver para $r$: $$\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t} - I_0 = 0$$