Teoría: Series de Potencias para EDO

5.1 Repaso de Series de Potencias

Definición

Una serie de potencias centrada en $x_0$ es:

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)^2 + \cdots$$

Radio de Convergencia

El radio de convergencia $R$ se determina por:

$$\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \quad \text{o} \quad \frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}$$

La serie converge para $|x - x_0| < R$ y diverge para $|x - x_0| > R$.

Operaciones con Series

Suma: $$\sum c_n x^n + \sum d_n x^n = \sum (c_n + d_n) x^n$$

Multiplicación por $x^k$: $$x^k \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^{n+k} = \sum_{m=k}^{\infty} c_{m-k} x^m$$

Derivación término a término: $$\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1}$$

Integración término a término: $$\int \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} x^{n+1} + C$$

Función Analítica

Una función es analítica en $x_0$ si tiene desarrollo en serie de potencias convergente en un entorno de $x_0$.

5.2 Soluciones en Puntos Ordinarios

Clasificación de Puntos

Para la ecuación en forma estándar:

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$$

Punto ordinario: $P(x)$ y $Q(x)$ son analíticas en $x_0$

Punto singular: $P(x)$ o $Q(x)$ no son analíticas en $x_0$

Teorema de Existencia

Si $x_0$ es un punto ordinario de $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma:

$$y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n$$

que convergen en un intervalo $|x - x_0| < R$, donde $R$ es al menos la distancia al punto singular más cercano.

Método de Solución

1. Suponer $y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ (para $x_0 = 0$)

2. Calcular:

3. $y' = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1}$

4. $y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n x^{n-2}$

5. Sustituir en la EDO

6. Igualar coeficientes de cada potencia a cero

7. Obtener relación de recurrencia para los $c_n$

8. Escribir la solución general

Ejemplo: Resolver $y'' + y = 0$

$y = \sum c_n x^n$, $y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)c_n x^{n-2}$

Cambiando índice en $y''$: sea $m = n-2$, entonces $n = m+2$

$y'' = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)c_{m+2} x^m$

Sustituyendo: $\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_n] x^n = 0$

Recurrencia: $c_{n+2} = -\frac{c_n}{(n+2)(n+1)}$

Para $n$ par: $c_0, c_2 = -\frac{c_0}{2}, c_4 = \frac{c_0}{24}, ...$

Para $n$ impar: $c_1, c_3 = -\frac{c_1}{6}, c_5 = \frac{c_1}{120}, ...$

$$y = c_0\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right) + c_1\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\right)$$

$$y = c_0 \cos x + c_1 \sin x$$

5.3 Método de Frobenius

Puntos Singulares Regulares

Un punto singular $x_0$ de:

$$P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0$$

es regular si los límites:

$$p_0 = \lim_{x \to x_0} (x-x_0)\frac{Q(x)}{P(x)}, \quad q_0 = \lim_{x \to x_0} (x-x_0)^2\frac{R(x)}{P(x)}$$

existen y son finitos. De lo contrario, es irregular.

Forma de Frobenius

Para un punto singular regular en $x_0 = 0$, buscamos solución:

$$\boxed{y = x^r \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^{n+r}, \quad c_0 \neq 0}$$

Ecuación Indicial

Al sustituir en la EDO, el coeficiente de la potencia más baja da la ecuación indicial:

$$\boxed{r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0}$$

Las raíces $r_1, r_2$ (con $r_1 \geq r_2$ si son reales) determinan los exponentes de la solución.

Casos según las Raíces

Caso 1: $r_1 - r_2 \notin \mathbb{Z}$ (no difieren por entero)

Dos soluciones independientes tipo Frobenius: $$y_1 = x^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad y_2 = x^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$$

Caso 2: $r_1 = r_2 = r$ (raíces iguales)

$$y_1 = x^r\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ $$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$

Caso 3: $r_1 - r_2 = N$ (entero positivo)

$$y_1 = x^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ $$y_2 = C y_1 \ln x + x^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$$

donde $C$ puede ser 0 (en cuyo caso $y_2$ no tiene logaritmo).

Ejemplo: $2xy'' + y' + y = 0$ (punto singular regular en $x = 0$)

Forma estándar: $y'' + \frac{1}{2x}y' + \frac{1}{2x}y = 0$

$p_0 = \lim_{x\to 0} x \cdot \frac{1}{2x} = \frac{1}{2}$

$q_0 = \lim_{x\to 0} x^2 \cdot \frac{1}{2x} = 0$

Ecuación indicial: $r(r-1) + \frac{1}{2}r + 0 = 0$

$r^2 - \frac{1}{2}r = 0 \Rightarrow r(r - \frac{1}{2}) = 0$

$r_1 = \frac{1}{2}$, $r_2 = 0$

$r_1 - r_2 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ → Caso 1, dos series de Frobenius

5.4 Ecuaciones Especiales

Ecuación de Bessel

$$x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$$

donde $\nu \geq 0$ es el orden.

Solución general: $$y = C_1 J_\nu(x) + C_2 Y_\nu(x)$$

Función de Bessel de primera especie: $$J_\nu(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}$$

Para $\nu = 0$: $$J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \frac{x^6}{2304} + \cdots$$

Aplicaciones: Vibraciones de membranas circulares, conducción de calor en cilindros.

Ecuación de Legendre

$$(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$$

donde $n$ es un entero no negativo.

Solución: Los polinomios de Legendre $P_n(x)$

$$P_0(x) = 1$$ $$P_1(x) = x$$ $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$$ $$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$$

Fórmula de Rodrigues: $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

Aplicaciones: Potenciales electrostáticos, armónicos esféricos.

Ecuación de Hermite

$$y'' - 2xy' + 2ny = 0$$

Polinomios de Hermite: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_2(x) = 4x^2 - 2$$

Aplicación: Oscilador armónico cuántico.

Ecuación de Laguerre

$$xy'' + (1-x)y' + ny = 0$$

Polinomios de Laguerre: $$L_0(x) = 1, \quad L_1(x) = 1-x, \quad L_2(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 2)$$

Aplicación: Átomo de hidrógeno en mecánica cuántica.

Tabla: Ecuaciones Especiales