Teoría: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

3.1 Forma Matricial

Sistema de EDO Lineales

Un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

$$\begin{cases} x_1' = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n + f_1(t) \ x_2' = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n + f_2(t) \ \vdots \ x_n' = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n + f_n(t) \end{cases}$$

Notación Matricial

$$\boxed{\mathbf{X}' = A\mathbf{X} + \mathbf{F}(t)}$$

donde: - $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{pmatrix}$ es el vector de incógnitas - $A = (a_{ij})$ es la matriz de coeficientes $n \times n$ - $\mathbf{F}(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \ f_2(t) \ \vdots \ f_n(t) \end{pmatrix}$ es el vector de términos forzantes

Sistema Homogéneo

Cuando $\mathbf{F}(t) = \mathbf{0}$:

$$\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$$

Conversión de EDO de Orden Superior

Una EDO de orden $n$: $$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = f(t)$$

Se convierte en sistema con: $x_1 = y$, $x_2 = y'$, ..., $x_n = y^{(n-1)}$

Ejemplo: $y'' + 3y' + 2y = 0$

Sea $x_1 = y$, $x_2 = y'$

$x_1' = x_2$

$x_2' = y'' = -3y' - 2y = -2x_1 - 3x_2$

$$\mathbf{X}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}\mathbf{X}$$

3.2 Método de Valores Propios (Eigenvalores Reales Distintos)

Idea Central

Buscamos soluciones de la forma:

$$\mathbf{X} = e^{\lambda t}\mathbf{v}$$

donde $\lambda$ es un escalar y $\mathbf{v}$ un vector constante.

Condición

Sustituyendo en $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$:

$$\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v} = Ae^{\lambda t}\mathbf{v}$$

$$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$

Es decir, $\lambda$ debe ser valor propio y $\mathbf{v}$ vector propio de $A$.

Solución General (Caso Reales Distintos)

Si $A$ tiene eigenvalores $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ distintos con eigenvectores $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$:

$$\boxed{\mathbf{X} = C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 + \cdots + C_n e^{\lambda_n t}\mathbf{v}_n}$$

Ejemplo: Resolver $\mathbf{X}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 4 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{X}$

Ecuación característica: $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \ 4 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$$

$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1$

Eigenvector para $\lambda_1 = 3$: $(A - 3I)\mathbf{v} = 0$: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \ 4 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0$

$-2v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$

Eigenvector para $\lambda_2 = -1$: $(A + I)\mathbf{v} = 0$: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 4 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0$

$2v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}$

Solución: $$\mathbf{X} = C_1 e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}$$

3.3 Valores Propios Complejos

Eigenvalores Complejos Conjugados

Si $\lambda = \alpha + \beta i$ es eigenvalor con eigenvector $\mathbf{v} = \mathbf{a} + i\mathbf{b}$, entonces $\bar{\lambda} = \alpha - \beta i$ también es eigenvalor.

Solución Compleja

$$\mathbf{X} = e^{(\alpha + \beta i)t}(\mathbf{a} + i\mathbf{b})$$

Soluciones Reales

Usando la fórmula de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$:

$$\boxed{\mathbf{X}_1 = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\cos\beta t - \mathbf{b}\sin\beta t)}$$

$$\boxed{\mathbf{X}_2 = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\sin\beta t + \mathbf{b}\cos\beta t)}$$

Solución general:

$$\mathbf{X} = C_1\mathbf{X}_1 + C_2\mathbf{X}_2$$

Ejemplo: $\mathbf{X}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{X}$

$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm i$

Para $\lambda = i$: $(A - iI)\mathbf{v} = 0$

$\begin{pmatrix} -i & 1 \ -1 & -i \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0$

$-iv_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = iv_1$

$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$

$\alpha = 0$, $\beta = 1$

Solución: $$\mathbf{X} = C_1\begin{pmatrix} \cos t \ -\sin t \end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix} \sin t \ \cos t \end{pmatrix}$$

3.4 Valores Propios Repetidos

Eigenvalor Doble con Un Solo Eigenvector

Si $\lambda$ es eigenvalor de multiplicidad 2 pero solo hay un eigenvector linealmente independiente $\mathbf{v}$, necesitamos un vector generalizado $\mathbf{w}$ que satisface:

$$(A - \lambda I)\mathbf{w} = \mathbf{v}$$

Solución General

$$\boxed{\mathbf{X} = C_1 e^{\lambda t}\mathbf{v} + C_2 e^{\lambda t}(t\mathbf{v} + \mathbf{w})}$$

Ejemplo: $\mathbf{X}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{X}$

$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$

$(\lambda - 2)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$ (doble)

Eigenvector: $(A - 2I)\mathbf{v} = 0$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0$

$v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$

Vector generalizado: $(A - 2I)\mathbf{w} = \mathbf{v}$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$

$w_1 + w_2 = 1 \Rightarrow \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$

Solución: $$\mathbf{X} = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\left[t\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\right]$$

3.5 Retratos de Fase

Punto de Equilibrio

El punto de equilibrio del sistema $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$ es $\mathbf{X} = \mathbf{0}$ (cuando $\det A \neq 0$).

Clasificación (Sistema 2×2)

Para matriz $A$ con eigenvalores $\lambda_1, \lambda_2$:

Estabilidad

• Asintóticamente estable: $\mathbf{X}(t) \to \mathbf{0}$ cuando $t \to \infty$ (todos $\text{Re}(\lambda) < 0$)
• Estable: Trayectorias permanecen cerca ($\text{Re}(\lambda) \leq 0$)
• Inestable: Algún $\text{Re}(\lambda) > 0$

Traza y Determinante

Para $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$:

• $\tau = \text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2$
• $\Delta = \det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2$
• Discriminante: $\tau^2 - 4\Delta$

3.6 Matriz Exponencial

Definición

$$e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!}$$

Solución del PVI

Para $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$ con $\mathbf{X}(0) = \mathbf{X}_0$:

$$\boxed{\mathbf{X}(t) = e^{At}\mathbf{X}_0}$$

Cálculo mediante Diagonalización

Si $A = PDP^{-1}$ donde $D = \text{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n)$:

$$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$$

donde $e^{Dt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, ..., e^{\lambda_n t})$

Propiedades

1. $e^{0} = I$
2. $\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$
3. $e^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}$
4. $(e^{At})^{-1} = e^{-At}$

Ejemplo: Calcular $e^{At}$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Eigenvalores: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$

Eigenvectores: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$$e^{At} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t & 0 \ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$e^{At} = \begin{pmatrix} e^t & e^{2t} - e^t \ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}$$