Teoría: Transformada de Laplace

4.1 Definición y Transformadas Básicas

Definición

La transformada de Laplace de una función $f(t)$ definida para $t \geq 0$ es:

$$\boxed{\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt}$$

siempre que la integral impropia converja.

Notación

• $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$ (función transformada)
• $\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)$ (transformada inversa)
• Minúscula para dominio del tiempo, mayúscula para dominio de $s$

Condiciones de Existencia

La transformada existe si $f$ es: 1. Continua a trozos en $[0, \infty)$ 2. De orden exponencial: $|f(t)| \leq Me^{ct}$ para constantes $M, c > 0$

Transformadas Fundamentales

1. Función constante: $$\mathcal{L}{1} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s}, \quad s > 0$$

2. Potencias: $$\mathcal{L}{t^n} = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad n = 0, 1, 2, ...$$

3. Exponencial: $$\mathcal{L}{e^{at}} = \frac{1}{s-a}, \quad s > a$$

4. Seno: $$\mathcal{L}{\sin bt} = \frac{b}{s^2 + b^2}$$

5. Coseno: $$\mathcal{L}{\cos bt} = \frac{s}{s^2 + b^2}$$

6. Seno hiperbólico: $$\mathcal{L}{\sinh bt} = \frac{b}{s^2 - b^2}$$

7. Coseno hiperbólico: $$\mathcal{L}{\cosh bt} = \frac{s}{s^2 - b^2}$$

4.2 Propiedades de la Transformada

Linealidad

$$\boxed{\mathcal{L}{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)}$$

Ejemplo: $\mathcal{L}{5e^{2t} + 3\sin 4t} = \frac{5}{s-2} + \frac{12}{s^2+16}$

Primera Traslación (Traslación en $s$)

Si $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$, entonces:

$$\boxed{\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s-a)}$$

Ejemplo: $\mathcal{L}{e^{3t}\cos 2t} = \frac{s-3}{(s-3)^2 + 4}$

(Se reemplaza $s$ por $s-3$ en $\frac{s}{s^2+4}$)

Segunda Traslación (Traslación en $t$)

Si $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$, entonces:

$$\boxed{\mathcal{L}{u(t-a)f(t-a)} = e^{-as}F(s)}$$

donde $u(t-a)$ es la función escalón unitario.

Transformada de Derivadas

$$\boxed{\mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)}$$

$$\boxed{\mathcal{L}{f''(t)} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)}$$

En general:

$$\mathcal{L}{f^{(n)}(t)} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

Transformada de Integrales

$$\boxed{\mathcal{L}\left{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right} = \frac{F(s)}{s}}$$

Multiplicación por $t$

$$\boxed{\mathcal{L}{tf(t)} = -F'(s)}$$

$$\mathcal{L}{t^n f(t)} = (-1)^n \frac{d^n F}{ds^n}$$

División por $t$

$$\boxed{\mathcal{L}\left{\frac{f(t)}{t}\right} = \int_s^{\infty} F(u)\,du}$$

(si el límite $\lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t}$ existe)

Convolución

La convolución de $f$ y $g$ es:

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

Teorema: $$\boxed{\mathcal{L}{f * g} = F(s) \cdot G(s)}$$

4.3 Transformada Inversa

Definición

$$\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)$$

Linealidad Inversa

$$\mathcal{L}^{-1}{aF(s) + bG(s)} = af(t) + bg(t)$$

Método de Fracciones Parciales

Para invertir funciones racionales $\frac{P(s)}{Q(s)}$:

Caso 1: Factores lineales distintos $$\frac{P(s)}{(s-a)(s-b)} = \frac{A}{s-a} + \frac{B}{s-b}$$

Caso 2: Factores lineales repetidos $$\frac{P(s)}{(s-a)^n} = \frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s-a)^n}$$

Caso 3: Factores cuadráticos irreducibles $$\frac{P(s)}{s^2 + bs + c} = \frac{As + B}{s^2 + bs + c}$$

Ejemplo: Encontrar $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{5s+3}{(s-1)(s+2)}\right}$

$\frac{5s+3}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}$

$5s + 3 = A(s+2) + B(s-1)$

$s = 1$: $8 = 3A \Rightarrow A = \frac{8}{3}$

$s = -2$: $-7 = -3B \Rightarrow B = \frac{7}{3}$

$\mathcal{L}^{-1} = \frac{8}{3}e^t + \frac{7}{3}e^{-2t}$

Tabla de Transformadas Inversas Comunes

4.4 Aplicación a Problemas de Valor Inicial

Método General

Para resolver $ay'' + by' + cy = f(t)$ con $y(0) = y_0$, $y'(0) = y_0'$:

Paso 1: Aplicar $\mathcal{L}$ a ambos lados

Paso 2: Usar propiedades de derivadas: $$a[s^2Y - sy_0 - y_0'] + b[sY - y_0] + cY = F(s)$$

Paso 3: Despejar $Y(s)$: $$Y(s) = \frac{F(s) + \text{términos de condiciones iniciales}}{as^2 + bs + c}$$

Paso 4: Aplicar $\mathcal{L}^{-1}$ para obtener $y(t)$

Ejemplo: Resolver $y'' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$

$\mathcal{L}{y''} + 4\mathcal{L}{y} = 0$

$s^2Y - s(1) - 2 + 4Y = 0$

$Y(s^2 + 4) = s + 2$

$Y = \frac{s}{s^2+4} + \frac{2}{s^2+4}$

$y(t) = \cos 2t + \sin 2t$

Función de Transferencia

Para un sistema lineal con entrada $f(t)$ y salida $y(t)$:

$$H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}$$

es la función de transferencia (suponiendo condiciones iniciales nulas).

4.5 Funciones Especiales

Función Escalón Unitario (Heaviside)

$$u(t-a) = \begin{cases} 0, & t < a \ 1, & t \geq a \end{cases}$$

Transformada: $$\mathcal{L}{u(t-a)} = \frac{e^{-as}}{s}$$

Uso: Representar funciones que "se encienden" en $t = a$

Ejemplo: $f(t) = \begin{cases} 0, & t < 2 \ t-2, & t \geq 2 \end{cases}$

$f(t) = (t-2)u(t-2)$

$\mathcal{L}{f} = e^{-2s} \cdot \frac{1}{s^2}$

Función Delta de Dirac

La "función" delta $\delta(t-a)$ representa un impulso unitario en $t = a$:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-a)g(t)\,dt = g(a)$$

Transformada: $$\mathcal{L}{\delta(t-a)} = e^{-as}$$

$$\mathcal{L}{\delta(t)} = 1$$

Aplicación: Fuerzas impulsivas, corrientes instantáneas

Funciones Periódicas

Si $f(t)$ es periódica con período $T$:

$$\mathcal{L}{f(t)} = \frac{1}{1 - e^{-sT}}\int_0^T e^{-st}f(t)\,dt$$

Ejemplo: Onda cuadrada con período $2a$: $$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < a \ 0, & a < t < 2a \end{cases}$$

$$\mathcal{L}{f} = \frac{1}{s(1+e^{-as})}$$

Función Rampa

$$r(t) = t \cdot u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ t, & t \geq 0 \end{cases}$$

$$\mathcal{L}{r(t)} = \frac{1}{s^2}$$

Representación de Funciones a Trozos

Cualquier función a trozos puede escribirse usando escalones:

$$f(t) = f_1(t)[u(t-a) - u(t-b)] + f_2(t)[u(t-b) - u(t-c)] + \cdots$$

Ejemplo: $$f(t) = \begin{cases} 2, & 0 \leq t < 1 \ t, & 1 \leq t < 3 \ 0, & t \geq 3 \end{cases}$$

$f(t) = 2[1 - u(t-1)] + t[u(t-1) - u(t-3)]$

$= 2 - 2u(t-1) + tu(t-1) - tu(t-3)$

$= 2 + (t-2)u(t-1) - tu(t-3)$