Teoría: Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

2.1 Ecuaciones Homogéneas con Coeficientes Constantes

Forma General

$$ay'' + by' + cy = 0$$

donde $a, b, c$ son constantes con $a \neq 0$.

Ecuación Característica

Suponiendo solución de la forma $y = e^{rx}$:

$$ar^2 + br + c = 0$$

Las raíces determinan la forma de la solución.

Caso 1: Raíces Reales Distintas ($\Delta > 0$)

Si $r_1 \neq r_2$ son las raíces:

$$\boxed{y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}}$$

Ejemplo: $y'' - 5y' + 6y = 0$

Ecuación característica: $r^2 - 5r + 6 = 0$

$(r-2)(r-3) = 0 \Rightarrow r_1 = 2, r_2 = 3$

Solución: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

Caso 2: Raíces Reales Repetidas ($\Delta = 0$)

Si $r_1 = r_2 = r$:

$$\boxed{y_h = (C_1 + C_2 x)e^{rx} = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx}}$$

Ejemplo: $y'' - 4y' + 4y = 0$

Ecuación característica: $r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r-2)^2 = 0 \Rightarrow r = 2$ (doble)

Solución: $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$

Caso 3: Raíces Complejas Conjugadas ($\Delta < 0$)

Si $r = \alpha \pm \beta i$:

$$\boxed{y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)}$$

Forma alternativa con amplitud y fase:

$$y_h = Ae^{\alpha x}\cos(\beta x - \phi)$$

Ejemplo: $y'' + 2y' + 5y = 0$

Ecuación característica: $r^2 + 2r + 5 = 0$

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

$\alpha = -1$, $\beta = 2$

Solución: $y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$

2.2 Ecuaciones No Homogéneas

Forma General

$$ay'' + by' + cy = f(x)$$

donde $f(x) \neq 0$ es el término forzante.

Teorema de la Solución General

La solución general de la ecuación no homogénea es:

$$\boxed{y = y_h + y_p}$$

donde: - $y_h$ = solución general de la ecuación homogénea asociada - $y_p$ = una solución particular de la ecuación no homogénea

Principio de Superposición

Si $y_{p1}$ es solución particular para $f_1(x)$ y $y_{p2}$ para $f_2(x)$, entonces:

$$y_p = y_{p1} + y_{p2}$$

es solución particular para $f_1(x) + f_2(x)$.

2.3 Método de Coeficientes Indeterminados

Aplicabilidad

El método funciona cuando $f(x)$ es combinación de: - Polinomios: $x^n$ - Exponenciales: $e^{ax}$ - Senos y cosenos: $\sin bx$, $\cos bx$ - Productos de los anteriores

Tabla de Soluciones Particulares

Regla de Modificación

Si algún término de $y_p$ duplica una solución de $y_h$:

Multiplicar $y_p$ por $x$ (o por $x^2$ si ya hay multiplicación por $x$).

Ejemplo 1: $y'' - 3y' + 2y = e^x$

Homogénea: $r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow r = 1, 2$

$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

Como $e^x$ está en $y_h$, usamos $y_p = Axe^x$

$y_p' = Ae^x + Axe^x = Ae^x(1+x)$

$y_p'' = Ae^x(2+x)$

Sustituyendo: $Ae^x(2+x) - 3Ae^x(1+x) + 2Axe^x = e^x$

$Ae^x[(2+x) - 3(1+x) + 2x] = e^x$

$Ae^x[-1] = e^x \Rightarrow A = -1$

$y_p = -xe^x$

Ejemplo 2: $y'' + 4y = \cos 2x$

Homogénea: $r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i$

$y_h = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$

Como $\cos 2x$ está en $y_h$, usamos $y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x)$

Derivando y sustituyendo... $A = 0, B = \frac{1}{4}$

$y_p = \frac{x}{4}\sin 2x$

2.4 Variación de Parámetros

Ventaja del Método

Funciona para cualquier $f(x)$, no solo para las formas especiales del método de coeficientes indeterminados.

Procedimiento

Dada $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$ con solución homogénea:

$$y_h = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$$

Buscamos $y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$

Wronskiano

$$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'$$

Fórmulas para $u_1'$ y $u_2'$

$$\boxed{u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W}, \quad u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W}}$$

Integrando:

$$u_1 = -\int \frac{y_2 f(x)}{W}\,dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 f(x)}{W}\,dx$$

Fórmula Compacta

$$\boxed{y_p = -y_1 \int \frac{y_2 f}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 f}{W}\,dx}$$

Ejemplo: $y'' + y = \sec x$

Homogénea: $y_h = C_1\cos x + C_2\sin x$

$y_1 = \cos x$, $y_2 = \sin x$

$W = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$

$u_1' = -\sin x \cdot \sec x = -\tan x$

$u_1 = \int -\tan x\,dx = \ln|\cos x|$

$u_2' = \cos x \cdot \sec x = 1$

$u_2 = x$

$y_p = \cos x \ln|\cos x| + x\sin x$

2.5 Ecuación de Cauchy-Euler

Forma Estándar

$$ax^2y'' + bxy' + cy = 0$$

Los coeficientes son potencias de $x$ que coinciden con el orden de la derivada.

Método de Solución

Suponemos $y = x^m$ para $x > 0$:

$$y' = mx^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)x^{m-2}$$

Sustituyendo:

$$ax^2 \cdot m(m-1)x^{m-2} + bx \cdot mx^{m-1} + cx^m = 0$$

$$x^m[am(m-1) + bm + c] = 0$$

Ecuación Auxiliar

$$\boxed{am(m-1) + bm + c = 0}$$

o equivalentemente: $am^2 + (b-a)m + c = 0$

Casos de Solución

Caso 1: Raíces reales distintas $m_1 \neq m_2$

$$y = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2}$$

Caso 2: Raíces repetidas $m_1 = m_2 = m$

$$y = (C_1 + C_2 \ln x)x^m$$

Caso 3: Raíces complejas $m = \alpha \pm \beta i$

$$y = x^\alpha[C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)]$$

Ejemplo: $x^2y'' - 2xy' - 4y = 0$

Ecuación auxiliar: $m(m-1) - 2m - 4 = 0$

$m^2 - 3m - 4 = 0$

$(m-4)(m+1) = 0 \Rightarrow m = 4, -1$

Solución: $y = C_1 x^4 + C_2 x^{-1}$

Método Alternativo: Cambio de Variable

La sustitución $x = e^t$ (o $t = \ln x$) transforma la ecuación de Cauchy-Euler en una ecuación con coeficientes constantes.

2.6 Aplicaciones

Oscilador Armónico Amortiguado

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$$

donde: - $m$ = masa - $c$ = coeficiente de amortiguamiento - $k$ = constante del resorte - $F(t)$ = fuerza externa

Ecuación característica: $mr^2 + cr + k = 0$

$r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$

Tipos de Amortiguamiento

Subamortiguado ($c^2 < 4mk$): Oscilaciones decrecientes

$$x(t) = e^{-\gamma t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$$

donde $\gamma = \frac{c}{2m}$ y $\omega_d = \frac{\sqrt{4mk - c^2}}{2m}$

Críticamente amortiguado ($c^2 = 4mk$): Sin oscilaciones, regreso más rápido

$$x(t) = (A + Bt)e^{-\gamma t}$$

Sobreamortiguado ($c^2 > 4mk$): Sin oscilaciones, regreso lento

$$x(t) = Ae^{r_1 t} + Be^{r_2 t}$$

Frecuencias Importantes

• Frecuencia natural: $\omega_0 = \sqrt{k/m}$
• Frecuencia amortiguada: $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$
• Factor de amortiguamiento: $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$

Circuito RLC en Serie

$$L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)$$

donde: - $L$ = inductancia (H) - $R$ = resistencia (Ω) - $C$ = capacitancia (F) - $q$ = carga (C) - $E(t)$ = fem aplicada (V)

Analogía mecánica-eléctrica:

Resonancia

Cuando la frecuencia de la fuerza externa $\omega$ iguala la frecuencia natural $\omega_0$:

Sin amortiguamiento: La amplitud crece sin límite (resonancia pura)

Con amortiguamiento: La amplitud alcanza un máximo finito en:

$$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$$