Teoría de EDO de Primer Orden

1.1 Conceptos Fundamentales

Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas.

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Involucra una función de una sola variable independiente.

$$F\left(x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, ..., \frac{d^ny}{dx^n}\right) = 0$$

Orden y Grado

• Orden: El orden de la derivada más alta que aparece
• Grado: El exponente de la derivada de mayor orden (cuando es polinomial)

Tipos de Soluciones

Solución general: Contiene constantes arbitrarias (una por cada orden).

Solución particular: Se obtiene asignando valores a las constantes.

Solución singular: No se obtiene de la general (tangente a la familia de curvas).

Problema de Valor Inicial (PVI)

Un PVI consiste en una EDO junto con condiciones iniciales: $$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$

Teorema de Existencia y Unicidad (Picard-Lindelöf)

Teorema: Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en una región rectangular $R$ que contiene $(x_0, y_0)$, entonces existe un intervalo $I$ conteniendo a $x_0$ en el cual el PVI tiene solución única.

1.2 Ecuaciones Separables

Definición

Una EDO es separable si puede escribirse como: $$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

o equivalentemente: $$M(x)dx + N(y)dy = 0$$

Método de Solución

1. Separar variables: $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$
2. Integrar ambos lados: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx + C$

Ejemplo

$$\frac{dy}{dx} = xy^2$$

Separando: $\frac{dy}{y^2} = x\,dx$

Integrando: $-\frac{1}{y} = \frac{x^2}{2} + C$

Solución: $y = -\frac{2}{x^2 + C_1}$

1.3 Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Forma Estándar

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Factor Integrante

El factor integrante es: $$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$$

Derivación de la Solución

Multiplicando por $\mu$: $$\mu\frac{dy}{dx} + \mu P y = \mu Q$$

El lado izquierdo es $\frac{d}{dx}(\mu y)$: $$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q$$

Integrando: $$\mu y = \int \mu Q\,dx + C$$

Fórmula de Solución General

$$\boxed{y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)dx + C\right]}$$

donde $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$

Ejemplo

$$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$$

$P(x) = \frac{2}{x}$, $Q(x) = x^2$

$\mu = e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln|x|} = x^2$

$y = \frac{1}{x^2}\left[\int x^2 \cdot x^2\,dx + C\right] = \frac{1}{x^2}\left[\frac{x^5}{5} + C\right]$

$$y = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2}$$

1.4 Ecuaciones Exactas

Definición

La ecuación $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si existe $F(x,y)$ tal que: $$dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = Mdx + Ndy$$

Criterio de Exactitud

Teorema: $Mdx + Ndy = 0$ es exacta si y solo si: $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

Método de Solución

1. Verificar exactitud: $M_y = N_x$
2. Integrar $M$ respecto a $x$: $F = \int M\,dx + g(y)$
3. Derivar $F$ respecto a $y$ e igualar a $N$: $\frac{\partial F}{\partial y} = N$
4. Resolver para $g(y)$
5. La solución es $F(x,y) = C$

Ejemplo

$(2xy + 3)dx + (x^2 + 4y)dy = 0$

$M = 2xy + 3$, $N = x^2 + 4y$

Verificar: $M_y = 2x$, $N_x = 2x$ ✓ (Es exacta)

$F = \int (2xy + 3)dx = x^2y + 3x + g(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 + 4y$

$g'(y) = 4y \Rightarrow g(y) = 2y^2$

Solución: $x^2y + 3x + 2y^2 = C$

1.5 Factor Integrante para Ecuaciones No Exactas

Cuando No es Exacta

Si $M_y \neq N_x$, buscamos un factor integrante $\mu$ tal que: $$\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0$$ sea exacta.

Fórmulas para el Factor Integrante

Caso 1: Si $\frac{M_y - N_x}{N}$ depende solo de $x$: $$\mu(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$$

Caso 2: Si $\frac{N_x - M_y}{M}$ depende solo de $y$: $$\mu(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M}dy}$$

1.6 Ecuaciones de Bernoulli

Forma

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$$

Método de Solución

Sustitución: $v = y^{1-n}$

Entonces: $\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$

La ecuación se transforma en lineal: $$\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$$

Ejemplo

$$\frac{dy}{dx} + y = xy^3$$

Aquí $n = 3$, $v = y^{-2}$

$\frac{dv}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$

Dividiendo la original por $y^3$: $y^{-3}\frac{dy}{dx} + y^{-2} = x$

$-\frac{1}{2}\frac{dv}{dx} + v = x$

$\frac{dv}{dx} - 2v = -2x$ (ecuación lineal)

1.7 Ecuaciones Homogéneas

Definición

Una función $f(x,y)$ es homogénea de grado $n$ si: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$

Una EDO es homogénea si puede escribirse como: $$\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$$

Método de Solución

Sustitución: $y = vx$ donde $v = \frac{y}{x}$

Entonces: $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

La ecuación se vuelve separable en $v$ y $x$: $$v + x\frac{dv}{dx} = F(v)$$ $$x\frac{dv}{dx} = F(v) - v$$

Ejemplo

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$

Reescribiendo: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{1}{v} + v$

Con $y = vx$: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$

$x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$

$v\,dv = \frac{dx}{x}$

$\frac{v^2}{2} = \ln|x| + C$

$\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + C$

Aplicaciones

Crecimiento y Decaimiento Exponencial

$$\frac{dP}{dt} = kP \quad \Rightarrow \quad P(t) = P_0 e^{kt}$$

Enfriamiento de Newton

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$$

Solución: $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$

Circuitos RC

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}q = \frac{E(t)}{R}$$

Mezclas

$$\frac{dx}{dt} = \text{(tasa entrada)} - \text{(tasa salida)}$$