Teoría — Integración múltiple

5.1 Integrales dobles sobre rectángulos

Definición mediante sumas de Riemann

Para $f(x, y)$ definida en el rectángulo $R = [a, b] \times [c, d]$:

$$\iint_R f(x, y)\, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_i^, y_j^) \Delta A$$

donde $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$.

Teorema de Fubini (rectángulos)

Si $f$ es continua en $R = [a, b] \times [c, d]$:

$$\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y)\, dy\, dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y)\, dx\, dy$$

El orden de integración puede intercambiarse.

Interpretación geométrica

• Si $f(x, y) \geq 0$: $\iint_R f\, dA$ = volumen bajo la superficie $z = f(x,y)$ sobre $R$
• $\iint_R 1\, dA$ = área de $R$

Propiedades

5.2 Integrales dobles sobre regiones generales

Región tipo I (simple en $y$)

$$D = {(x, y) : a \leq x \leq b, \; g_1(x) \leq y \leq g_2(x)}$$

$$\iint_D f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\, dy\, dx$$

Región tipo II (simple en $x$)

$$D = {(x, y) : c \leq y \leq d, \; h_1(y) \leq x \leq h_2(y)}$$

$$\iint_D f(x, y)\, dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\, dx\, dy$$

Selección del orden de integración

• Elegir el orden que simplifique los límites
• A veces un orden es imposible o muy difícil; el otro puede ser factible
• Para cambiar el orden: dibujar la región e identificar los nuevos límites

Figura 5.2.1: Regiones tipo I (simple en $y$) y tipo II (simple en $x$) para integrales dobles.

Valor medio

$$f_{\text{prom}} = \frac{1}{\text{Área}(D)} \iint_D f(x, y)\, dA$$

5.3 Coordenadas polares en integrales dobles

Cambio a polares

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$ $$dA = r\, dr\, d\theta$$

El factor $r$ es el Jacobiano y es esencial.

Transformación de la integral

$$\iint_D f(x, y)\, dA = \int_\alpha^\beta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$$

Cuándo usar polares

• Regiones circulares o sectores
• Funciones con $x^2 + y^2$
• Simetría radial

Regiones comunes en polares

5.4 Aplicaciones de integrales dobles

Área

$$A = \iint_D dA$$

Volumen

$$V = \iint_D f(x, y)\, dA$$

(si $f \geq 0$ representa la altura).

Masa

Si $\rho(x, y)$ es la densidad superficial: $$m = \iint_D \rho(x, y)\, dA$$

Centro de masa

$$\bar{x} = \frac{1}{m} \iint_D x\rho(x, y)\, dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{m} \iint_D y\rho(x, y)\, dA$$

Momentos de inercia

Radio de giro

$$\bar{x}_g = \sqrt{\frac{I_y}{m}}, \quad \bar{y}_g = \sqrt{\frac{I_x}{m}}$$

5.5 Integrales triples

Definición

Para $f(x, y, z)$ en una región $E \subseteq \mathbb{R}^3$: $$\iiint_E f(x, y, z)\, dV = \lim \sum f(x_i^, y_j^, z_k^*) \Delta V$$

Teorema de Fubini (cajas)

Para $B = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$: $$\iiint_B f\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx$$

(cualquier orden si $f$ es continua).

Regiones generales

Tipo 1 (proyección en $xy$): $$E = {(x,y,z) : (x,y) \in D, \; u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)}$$

$$\iiint_E f\, dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)\, dz \right] dA$$

Aplicaciones

5.6 Coordenadas cilíndricas

Definición

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$$

• $r \geq 0$: distancia al eje $z$
• $\theta$: ángulo en el plano $xy$
• $z$: altura

Elemento de volumen

$$dV = r\, dr\, d\theta\, dz$$

Integral triple

$$\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \iiint f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, r\, dr\, d\theta\, dz$$

Cuándo usar cilíndricas

• Simetría respecto al eje $z$
• Cilindros, conos, paraboloides
• Funciones con $x^2 + y^2$

Regiones comunes

Figura 5.6.1: Sistema de coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ y elemento de volumen $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$.

5.7 Coordenadas esféricas

Definición

$$x = \rho\sin\phi\cos\theta$$ $$y = \rho\sin\phi\sin\theta$$ $$z = \rho\cos\phi$$

• $\rho \geq 0$: distancia al origen
• $\phi \in [0, \pi]$: ángulo desde el eje $z$ positivo (colatitud)
• $\theta \in 0, 2\pi)$: ángulo en el plano $xy$ (azimut)

Relaciones útiles

$$\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ $$x^2 + y^2 = \rho^2\sin^2\phi$$ $$\cos\phi = \frac{z}{\rho}$$

Elemento de volumen

$$dV = \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta$$

Integral triple

$$\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \iiint f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\, \rho^2\sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta$$

Cuándo usar esféricas

• Simetría respecto al origen
• Esferas, conos, hemisferios
• Funciones con $x^2 + y^2 + z^2$

Regiones comunes

Figura 5.7.1: Sistema de coordenadas esféricas $(\rho, \phi, \theta)$ y elemento de volumen $dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

5.8 Cambio de variables general

Transformación

Sea $T: (u, v) \mapsto (x, y)$ con $x = x(u, v)$, $y = y(u, v)$.

Jacobiano

$$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$

Fórmula de cambio de variables

$$\iint_R f(x, y)\, dx\, dy = \iint_S f(x(u,v), y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du\, dv$$

Jacobianos comunes

En tres dimensiones

$$\iiint_E f(x,y,z)\, dV = \iiint_{E'} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| du\, dv\, dw$$

5.9 Integrales de línea

Integral de línea de una función escalar

Para $f(x, y, z)$ a lo largo de la curva $C$ parametrizada por $\mathbf{r}(t)$, $a \leq t \leq b$:

$$\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \lVert \mathbf{r}'(t) \rVert\, dt$$

Integral de línea de un campo vectorial

Para $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt = \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz$$

Trabajo

El trabajo realizado por una fuerza $\mathbf{F}$ a lo largo de $C$: $$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

Independencia del camino

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ es independiente del camino si y solo si $\mathbf{F}$ es conservativo.

Campo conservativo

$\mathbf{F}$ es conservativo si existe $f$ [tal que $\mathbf{F} = \nabla f$.

Criterio (en región simplemente conexa): $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ es conservativo si y solo si: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

Teorema fundamental para integrales de línea

Si $\mathbf{F} = \nabla f$: $$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a))$$

5.10 Teorema de Green

Enunciado

Sea $D$ una región simplemente conexa con frontera $C$ recorrida en sentido positivo (antihorario). Si $P$ y $Q$ tienen derivadas parciales continuas:

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$

Formas alternativas

Forma de circulación: $$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}\, dA$$

Forma de flujo: $$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, ds = \iint_D \nabla \cdot \mathbf{F}\, dA$$

Área mediante Green

$$A = \frac{1}{2} \oint_C x\,dy - y\,dx = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx$$

5.11 Integrales de superficie

Área de una superficie

Para $z = g(x, y)$ sobre región $D$: $$A = \iint_D \sqrt{1 + (g_x)^2 + (g_y)^2}\, dA$$

Integral de superficie de función escalar

$$\iint_S f\, dS = \iint_D f(x, y, g(x,y)) \sqrt{1 + (g_x)^2 + (g_y)^2}\, dA$$

Superficie parametrizada

Para $\mathbf{r}(u, v) = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle$:

$$dS = \lVert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \rVert\, du\, dv$$

Integral de superficie de campo vectorial (flujo)

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F} \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\, du\, dv$$

5.12 Teoremas fundamentales del cálculo vectorial

Teorema de Stokes

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

Relaciona la circulación de $\mathbf{F}$ alrededor de $C$ con el flujo del rotacional a través de $S$.

Teorema de la divergencia (Gauss)

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV$$

Relaciona el flujo de $\mathbf{F}$ a través de $S$ con la integral de la divergencia sobre $E$.

Operadores diferenciales

Figura 5.12.1: Ilustración de los teoremas de Green, Stokes y Divergencia que relacionan integrales de línea, superficie y volumen.