Teoría — Funciones reales de varias variables

4.1 Funciones de varias variables

Definición

Una función de dos variables es una regla $f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que asigna a cada par ordenado $(x, y)$ en el dominio $D$ un único número real $z = f(x, y)$.

Análogamente, una función de tres variables $f: D \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ asigna $w = f(x, y, z)$.

Dominio y rango

• Dominio: conjunto de puntos $(x, y)$ donde $f$ está definida
• Rango: conjunto de valores $z$ que toma $f$

Gráfica

La gráfica de $z = f(x, y)$ es la superficie en $\mathbb{R}^3$: $$S = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = f(x, y), (x, y) \in D}$$

Curvas de nivel

Las curvas de nivel de $f(x, y)$ son las curvas en el plano $xy$ donde $f$ es constante: $$C_k = {(x, y) : f(x, y) = k}$$

Interpretación: Como las líneas de un mapa topográfico.

Superficies de nivel

Para $f(x, y, z)$, las superficies de nivel son: $$S_k = {(x, y, z) : f(x, y, z) = k}$$

Figura 4.1.1: Gráfica de $z = f(x,y)$ como superficie en $\mathbb{R}^3$ con curvas de nivel proyectadas en el plano $xy$.

4.2 Límites y continuidad

Límite de una función de dos variables

$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = L$$

significa que $f(x, y)$ se aproxima a $L$ cuando $(x, y)$ se acerca a $(a, b)$ por cualquier trayectoria.

Definición formal (épsilon-delta)

Para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que: $$0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta \implies |f(x,y) - L| < \varepsilon$$

Técnicas para evaluar límites

1. Sustitución directa (si $f$ es continua)
2. Coordenadas polares: $x = a + r\cos\theta$, $y = b + r\sin\theta$, luego $r \to 0$
3. Acotamiento (teorema del sándwich)

Demostración de no existencia

Si diferentes trayectorias dan diferentes límites, el límite no existe.

Trayectorias comunes: - $y = mx$ (rectas por el origen) - $y = x^2$ (parábola) - $x = 0$ o $y = 0$ (ejes)

Continuidad

$f$ es continua en $(a, b)$ si: 1. $f(a, b)$ existe 2. $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)$ existe 3. $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a, b)$

Continuidad de funciones compuestas

Si $f$ es continua en $(a, b)$ y $g$ es continua en $f(a, b)$, entonces $g \circ f$ es continua en $(a, b)$.

4.3 Derivadas parciales

Definición

$$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$$

$$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$$

Cálculo práctico

• Para $f_x$: derivar respecto a $x$ tratando $y$ como constante
• Para $f_y$: derivar respecto a $y$ tratando $x$ como constante

Interpretación geométrica

• $f_x(a, b)$: pendiente de la curva de intersección de la superficie con el plano $y = b$
• $f_y(a, b)$: pendiente de la curva de intersección de la superficie con el plano $x = a$

Notaciones alternativas

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f = f_1$$

Derivadas parciales de orden superior

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$$

$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$$

Teorema de Clairaut (Schwarz)

Si $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son continuas en una región abierta, entonces: $$f_{xy} = f_{yx}$$

4.4 Diferenciabilidad

Definición

$f(x, y)$ es diferenciable en $(a, b)$ si: $$\Delta f = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y$$

donde $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ cuando $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$.

Condición suficiente

Si $f_x$ y $f_y$ existen y son continuas en un disco abierto alrededor de $(a, b)$, entonces $f$ es diferenciable en $(a, b)$.

Relación con continuidad

$$\text{Diferenciable} \implies \text{Continua}$$

Pero continua NO implica diferenciable (y existencia de parciales NO implica diferenciable).

Diferencial total

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$

Para tres variables: $$df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz$$

Aproximación lineal

$$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

válida cerca de $(a, b)$.

Plano tangente

El plano tangente a la superficie $z = f(x, y)$ en $(a, b, f(a,b))$: $$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)$$

Figura 4.4.1: Plano tangente a una superficie en un punto, con gradiente $\nabla f$ perpendicular a las curvas de nivel.

4.5 Regla de la cadena

Caso 1: Una variable independiente

Si $z = f(x, y)$ con $x = x(t)$, $y = y(t)$: $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

Caso 2: Dos variables independientes

Si $z = f(x, y)$ con $x = x(s, t)$, $y = y(s, t)$: $$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$ $$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

Caso general

Usar diagramas de árbol para identificar todas las dependencias.

Derivación implícita

Si $F(x, y, z) = 0$ define $z$ implícitamente como función de $x$ e $y$: $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

(siempre que $F_z \neq 0$).

4.6 Gradiente y derivada direccional

Vector gradiente

$$\nabla f = \text{grad } f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$$

En tres variables: $$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$$

Propiedades del gradiente

1. Dirección de máximo crecimiento: $\nabla f$ apunta en la dirección donde $f$ crece más rápido
2. Magnitud: $\lVert \nabla f \rVert$ es la tasa máxima de cambio
3. Perpendicular a curvas de nivel: $\nabla f \perp$ a las curvas $f(x,y) = k$

Derivada direccional

La tasa de cambio de $f$ en la dirección del vector unitario $\mathbf{u}$: $$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \lVert \nabla f \rVert \cos\theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\nabla f$ y $\mathbf{u}$.

Valores extremos de la derivada direccional

Figura 4.6.1: El vector gradiente $\nabla f$ apunta en la dirección de máximo crecimiento, perpendicular a las curvas de nivel.

4.7 Planos tangentes y rectas normales

Superficie como gráfica: $z = f(x, y)$

Plano tangente en $(a, b, f(a,b))$: $$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$$

Vector normal: $$\mathbf{n} = \langle f_x(a,b), f_y(a,b), -1 \rangle$$

Superficie como nivel: $F(x, y, z) = k$

Vector normal: $$\mathbf{n} = \nabla F = \langle F_x, F_y, F_z \rangle$$

Plano tangente en $(x_0, y_0, z_0)$: $$F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$$

Recta normal: $$\frac{x - x_0}{F_x} = \frac{y - y_0}{F_y} = \frac{z - z_0}{F_z}$$

4.8 Extremos de funciones de varias variables

Extremos locales

• Máximo local: $f(a,b) \geq f(x,y)$ para todo $(x,y)$ cerca de $(a,b)$
• Mínimo local: $f(a,b) \leq f(x,y)$ para todo $(x,y)$ cerca de $(a,b)$

Puntos críticos

$(a, b)$ es punto crítico si: - $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$, es decir, $f_x(a,b) = 0$ y $f_y(a,b) = 0$ - O alguna derivada parcial no existe

Teorema de Fermat (generalizado)

Si $f$ tiene un extremo local en $(a, b)$ y las derivadas parciales existen, entonces: $$f_x(a, b) = 0 \quad \text{y} \quad f_y(a, b) = 0$$

Criterio de la segunda derivada (Test de la Hessiana)

Sea $D$ el discriminante o Hessiano: $$D = D(a,b) = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2$$

Punto silla

Un punto crítico donde $f$ no tiene extremo local. La superficie tiene forma de "silla de montar".

Matriz Hessiana

$$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

$D = \det(H)$

Figura 4.8.1: Clasificación de puntos críticos: mínimo local ($D>0, f_{xx}>0$), máximo local ($D>0, f_{xx}<0$) y punto silla ($D<0$).

4.9 Extremos absolutos

Teorema de valores extremos

Si $f$ es continua en una región cerrada y acotada $D$, entonces $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en $D$.

Procedimiento para encontrar extremos absolutos

1. Encontrar valores de $f$ en los puntos críticos interiores
2. Encontrar valores extremos de $f$ en la frontera de $D$
3. Comparar todos los valores; el mayor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo

Optimización en la frontera

Parametrizar la frontera y reducir a optimización de una variable, o usar multiplicadores de Lagrange.

4.10 Multiplicadores de Lagrange

Problema de optimización con restricciones

Optimizar $f(x, y, z)$ sujeto a $g(x, y, z) = k$.

Método de Lagrange

Los puntos extremos ocurren donde: $$\nabla f = \lambda \nabla g$$

junto con la restricción $g(x, y, z) = k$.

Sistema a resolver: $$\begin{cases} f_x = \lambda g_x \ f_y = \lambda g_y \ f_z = \lambda g_z \ g(x, y, z) = k \end{cases}$$

Interpretación geométrica

En un extremo condicionado, $\nabla f$ y $\nabla g$ son paralelos (las curvas/superficies de nivel son tangentes).

Dos restricciones

Para optimizar $f$ sujeto a $g = k_1$ y $h = k_2$: $$\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$$

junto con ambas restricciones.

Interpretación del multiplicador

$\lambda$ representa la sensibilidad del valor óptimo respecto al cambio en la restricción: $$\frac{d(\text{valor óptimo})}{dk} \approx \lambda$$