Teoría — Funciones vectoriales de una variable real

3.1 Definición y representación

Concepto intuitivo

Una función vectorial asigna a cada valor de un parámetro real $t$ un vector en el espacio. Describe la trayectoria de una partícula: dado el tiempo, devuelve la posición.

Definición formal

Una función vectorial $\mathbf{r}: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ es: $$\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}$$

donde $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ son las funciones componentes (escalares).

Dominio

El dominio de $\mathbf{r}(t)$ es la intersección de los dominios de sus componentes: $$\text{Dom}(\mathbf{r}) = \text{Dom}(x) \cap \text{Dom}(y) \cap \text{Dom}(z)$$

Curva en el espacio

La imagen de $\mathbf{r}(t)$ es una curva en el espacio (o curva espacial). El parámetro $t$ determina la orientación: el sentido en que se recorre la curva al aumentar $t$.

Ejemplos fundamentales

Figura 3.1.1: Ejemplos de curvas espaciales: hélice circular, curva de Viviani, y círculo en un plano horizontal.

3.2 Límites y continuidad

Límite de una función vectorial

$$\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left\langle \lim_{t \to a} x(t), \lim_{t \to a} y(t), \lim_{t \to a} z(t) \right\rangle$$

El límite existe si y solo si existen los límites de cada componente.

Continuidad

$\mathbf{r}(t)$ es continua en $t = a$ si: 1. $\mathbf{r}(a)$ está definida 2. $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t)$ existe 3. $\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$

Equivalentemente: $\mathbf{r}(t)$ es continua si y solo si cada componente es continua.

Curva suave

Una curva es suave si $\mathbf{r}'(t)$ existe, es continua y $\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$ para todo $t$ en el intervalo. Es suave a trozos si se puede dividir en un número finito de segmentos suaves.

3.3 Derivada de funciones vectoriales

Definición

$$\mathbf{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}$$

Cálculo por componentes

$$\mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle$$

La derivada existe si y solo si existen las derivadas de cada componente.

Interpretación geométrica

• $\mathbf{r}'(t)$ es el vector tangente a la curva en el punto $\mathbf{r}(t)$
• Apunta en la dirección del movimiento (según la orientación)
• $\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$ garantiza que la tangente está bien definida

Interpretación física (cinemática)

Reglas de derivación

Nota importante: En el producto vectorial, el orden es crucial (no es conmutativo).

Propiedades útiles

Si $\lVert \mathbf{r}(t) \rVert = c$ (constante), entonces: $$\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$$

Interpretación: Si un vector tiene magnitud constante, su derivada es perpendicular a él.

3.4 Integrales de funciones vectoriales

Integral indefinida

$$\int \mathbf{r}(t)\, dt = \left\langle \int x(t)\, dt, \int y(t)\, dt, \int z(t)\, dt \right\rangle + \mathbf{C}$$

donde $\mathbf{C} = \langle C_1, C_2, C_3 \rangle$ es un vector constante.

Integral definida

$$\int_a^b \mathbf{r}(t)\, dt = \left\langle \int_a^b x(t)\, dt, \int_a^b y(t)\, dt, \int_a^b z(t)\, dt \right\rangle$$

Teorema fundamental

$$\int_a^b \mathbf{r}'(t)\, dt = \mathbf{r}(b) - \mathbf{r}(a)$$

Aplicación: recuperar posición desde velocidad

Dado $\mathbf{v}(t)$ y la condición inicial $\mathbf{r}(t_0) = \mathbf{r}0$: $$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \int{t_0}^t \mathbf{v}(u)\, du$$

3.5 Longitud de arco

Fórmula de longitud

La longitud de la curva $\mathbf{r}(t)$ desde $t = a$ hasta $t = b$ es: $$L = \int_a^b \lVert \mathbf{r}'(t) \rVert\, dt = \int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2}\, dt$$

Función longitud de arco

$$s(t) = \int_a^t \lVert \mathbf{r}'(u) \rVert\, du$$

Mide la distancia recorrida desde $t = a$ hasta $t$.

Relación diferencial

$$\frac{ds}{dt} = \lVert \mathbf{r}'(t) \rVert$$

Interpretación: La rapidez es la tasa de cambio de la longitud de arco.

Reparametrización por longitud de arco

Si $s = s(t)$ es invertible, podemos escribir $t = t(s)$ y definir: $$\tilde{\mathbf{r}}(s) = \mathbf{r}(t(s))$$

Propiedad clave: $\left\lVert \frac{d\tilde{\mathbf{r}}}{ds} \right\rVert = 1$ (la curva se recorre a "velocidad unitaria").

Figura 3.5.1: Longitud de arco como suma de pequeños segmentos $\Delta s$ a lo largo de la curva.

3.6 Marco de Frenet-Serret (TNB)

Vector tangente unitario

$$\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\lVert \mathbf{r}'(t) \rVert}$$

Siempre tiene magnitud 1 y apunta en la dirección del movimiento.

Vector normal principal

$$\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{\lVert \mathbf{T}'(t) \rVert}$$

• Perpendicular a $\mathbf{T}$
• Apunta hacia el "centro de curvatura"
• Indica hacia dónde "gira" la curva

Vector binormal

$$\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)$$

• Perpendicular tanto a $\mathbf{T}$ como a $\mathbf{N}$
• ${\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}}$ forman una base ortonormal dextrógira

Planos asociados

Figura 3.6.1: Marco móvil de Frenet-Serret: vectores Tangente ($\mathbf{T}$), Normal ($\mathbf{N}$) y Binormal ($\mathbf{B}$) a lo largo de una hélice.

Fórmulas de Frenet-Serret

$$\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa\mathbf{N}$$ $$\frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa\mathbf{T} + \tau\mathbf{B}$$ $$\frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau\mathbf{N}$$

donde $\kappa$ es la curvatura y $\tau$ es la torsión.

3.7 Curvatura

Definición geométrica

La curvatura $\kappa$ mide qué tan rápido cambia la dirección de la tangente: $$\kappa = \left\lVert \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\rVert$$

• $\kappa$ grande: la curva "gira mucho"
• $\kappa$ pequeño: la curva es casi recta
• $\kappa = 0$: recta

Fórmulas de curvatura

Radio de curvatura

$$\rho = \frac{1}{\kappa}$$

El círculo osculador tiene radio $\rho$ y centro en el centro de curvatura.

Centro de curvatura

$$\text{Centro} = \mathbf{r}(t) + \rho\mathbf{N}(t)$$

Figura 3.7.1: Curvatura $\kappa$ y círculo osculador de radio $\rho = 1/\kappa$ tangente a la curva en el punto de contacto.

3.8 Torsión

Definición

La torsión $\tau$ mide qué tan rápido la curva "se sale" del plano osculador: $$\tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds} \cdot \mathbf{N}$$

Fórmula práctica

$$\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{\lVert \mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' \rVert^2}$$

Interpretación

• $\tau > 0$: la curva "gira a la derecha" saliendo del plano
• $\tau < 0$: la curva "gira a la izquierda" saliendo del plano
• $\tau = 0$: curva plana (contenida en un plano)

3.9 Componentes de la aceleración

Descomposición TNB

La aceleración se puede expresar en términos de $\mathbf{T}$ y $\mathbf{N}$: $$\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N}$$

Componente tangencial

$$a_T = \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d}{dt}\lVert \mathbf{v} \rVert = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{\lVert \mathbf{v} \rVert}$$

Interpretación: Mide el cambio en la rapidez (aceleración/desaceleración).

Componente normal (centrípeta)

$$a_N = \kappa \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \kappa v^2 = \frac{\lVert \mathbf{v} \times \mathbf{a} \rVert}{\lVert \mathbf{v} \rVert}$$

Interpretación: Mide el cambio en la dirección (asociada a la curvatura).

Relación con la magnitud

$$\lVert \mathbf{a} \rVert^2 = a_T^2 + a_N^2$$

Aplicación física

• En movimiento circular uniforme: $a_T = 0$, solo hay $a_N$ (centrípeta)
• En movimiento rectilíneo: $a_N = 0$, solo hay $a_T$

Figura 3.9.1: Descomposición de la aceleración en componentes tangencial ($a_T$) y normal ($a_N$).

3.10 Movimiento de proyectiles

Modelo básico (sin resistencia del aire)

$$\mathbf{a}(t) = \langle 0, 0, -g \rangle$$

Solución general

Con velocidad inicial $\mathbf{v}0 = \langle v{0x}, v_{0y}, v_{0z} \rangle$ y posición inicial $\mathbf{r}_0$:

$$\mathbf{v}(t) = \langle v_{0x}, v_{0y}, v_{0z} - gt \rangle$$ $$\mathbf{r}(t) = \langle v_{0x}t, v_{0y}t, v_{0z}t - \frac{1}{2}gt^2 \rangle + \mathbf{r}_0$$

Parámetros del movimiento parabólico (2D)