Teoría — Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
2.1 Ecuaciones paramétricas
Concepto intuitivo
Una curva paramétrica describe la posición de un punto en el plano como función de un parámetro $t$ (que frecuentemente representa el tiempo). En lugar de expresar $y$ directamente en función de $x$, ambas coordenadas dependen de $t$.
Definición formal
Una curva paramétrica plana es el conjunto de puntos $(x, y)$ donde: $$x = x(t), \quad y = y(t), \quad t \in I$$
siendo $I$ un intervalo (abierto, cerrado o infinito).
Orientación
La orientación de la curva es el sentido en que se recorre al aumentar $t$. Se indica con flechas sobre la curva.
Eliminación del parámetro
Para obtener la ecuación cartesiana: 1. Despeja $t$ de una de las ecuaciones 2. Sustituye en la otra 3. Simplifica
Ejemplo: Si $x = \cos t$, $y = \sin t$, entonces $x^2 + y^2 = 1$ (círculo unitario).
Curvas paramétricas clásicas
| Curva | Parametrización | Rango |
|---|---|---|
| Circunferencia | $x = a\cos t$, $y = a\sin t$ | $t \in [0, 2\pi]$ |
| Elipse | $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ | $t \in [0, 2\pi]$ |
| Cicloide | $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ | $t \in \mathbb{R}$ |
| Astroide | $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ | $t \in [0, 2\pi]$ |
2.2 Cálculo con curvas paramétricas
Tangentes a curvas paramétricas
La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva es: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$
siempre que $x'(t) \neq 0$.
Segunda derivada (para concavidad): $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$
Clasificación de tangentes
| Condición | Tipo de tangente |
|---|---|
| $y'(t) = 0$, $x'(t) \neq 0$ | Horizontal |
| $x'(t) = 0$, $y'(t) \neq 0$ | Vertical |
| $x'(t) = 0$, $y'(t) = 0$ | Punto singular (análisis adicional) |
Longitud de arco
La longitud de una curva paramétrica de $t = a$ a $t = b$ es: $$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt = \int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt$$
Interpretación: Se integra la "rapidez" con que se recorre la curva.
Función longitud de arco
$$s(t) = \int_a^t \sqrt{[x'(u)]^2 + [y'(u)]^2}\, du$$
Cumple: $\frac{ds}{dt} = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}$
Área bajo una curva paramétrica
Si la curva no se auto-intersecta y $y(t) \geq 0$ en el intervalo: $$A = \int_a^b y(t) \cdot x'(t)\, dt$$
o equivalentemente: $$A = -\int_a^b x(t) \cdot y'(t)\, dt$$
Nota: El signo depende de la orientación; tomar valor absoluto si es necesario.
Área encerrada por una curva cerrada
Para una curva cerrada recorrida en sentido antihorario: $$A = \frac{1}{2} \int_a^b \left[ x(t)y'(t) - y(t)x'(t) \right] dt$$
2.3 Coordenadas polares
Sistema de coordenadas polares
Un punto en el plano se describe por: - $r$: distancia al origen (polo) - $\theta$: ángulo medido desde el eje polar (eje $x$ positivo)
Conversión entre sistemas
| Polar → Cartesianas | Cartesianas → Polares |
|---|---|
| $x = r\cos\theta$ | $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ |
| $y = r\sin\theta$ | $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ |
Nota: Para $\theta$, considerar el cuadrante correcto.
Representación de puntos
Un mismo punto puede tener múltiples representaciones: - $(r, \theta)$ y $(r, \theta + 2\pi n)$ representan el mismo punto - $(-r, \theta)$ y $(r, \theta + \pi)$ representan el mismo punto
Curvas en coordenadas polares
Una curva polar se define como $r = f(\theta)$ o implícitamente $F(r, \theta) = 0$.
Curvas polares clásicas
| Nombre | Ecuación | Características |
|---|---|---|
| Círculo (centro en origen) | $r = a$ | Radio $a$ |
| Círculo (pasa por origen) | $r = a\cos\theta$ o $r = a\sin\theta$ | Diámetro $a$ |
| Cardioide | $r = a(1 \pm \cos\theta)$ o $r = a(1 \pm \sin\theta)$ | Forma de corazón |
| Limaçon | $r = a + b\cos\theta$ | Con/sin lazo según $\lvert a/b \rvert$ |
| Rosa de $n$ pétalos | $r = a\cos(n\theta)$ o $r = a\sin(n\theta)$ | $n$ pétalos si $n$ impar, $2n$ si par |
| Lemniscata | $r^2 = a^2\cos(2\theta)$ | Forma de $\infty$ |
| Espiral de Arquímedes | $r = a\theta$ | Espiral uniforme |
| Espiral logarítmica | $r = ae^{b\theta}$ | Espiral equiangular |
Simetrías en polares
| Prueba | Simetría |
|---|---|
| $r(\theta) = r(-\theta)$ | Eje polar (eje $x$) |
| $r(\theta) = r(\pi - \theta)$ | Recta $\theta = \pi/2$ (eje $y$) |
| $r(\theta) = r(\theta + \pi)$ | Respecto al polo (origen) |
2.4 Cálculo con coordenadas polares
Tangentes a curvas polares
Expresando $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta}$$
Tangentes en el polo
En el polo ($r = 0$), si $r = f(\theta)$ y $f(\theta_0) = 0$ pero $f'(\theta_0) \neq 0$, la recta $\theta = \theta_0$ es tangente.
Longitud de arco en polares
$$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\, d\theta$$
Derivación: Se obtiene de la fórmula paramétrica con $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$.
Área en coordenadas polares
El área encerrada por la curva $r = f(\theta)$ entre $\theta = \alpha$ y $\theta = \beta$ es: $$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\, d\theta = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta [f(\theta)]^2\, d\theta$$
Interpretación geométrica: Se suman sectores circulares infinitesimales de área $\frac{1}{2}r^2 d\theta$.
Área entre dos curvas polares
Si $r_{\text{int}} \leq r_{\text{ext}}$ para $\theta \in [\alpha, \beta]$: $$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta \left[ r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2 \right] d\theta$$
Importante: Identificar correctamente los límites de integración encontrando los puntos de intersección.
Intersección de curvas polares
Para encontrar intersecciones de $r = f(\theta)$ y $r = g(\theta)$: 1. Resolver $f(\theta) = g(\theta)$ 2. Verificar intersecciones en el polo: ¿existen $\theta_1, \theta_2$ tales que $f(\theta_1) = 0$ y $g(\theta_2) = 0$?
2.5 Secciones cónicas en polares
Forma general
Una cónica con foco en el origen y directriz perpendicular al eje polar: $$r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} \quad \text{o} \quad r = \frac{ed}{1 \pm e\sin\theta}$$
donde: - $e$ = excentricidad - $d$ = distancia del foco a la directriz
Clasificación por excentricidad
| Excentricidad | Cónica |
|---|---|
| $e < 1$ | Elipse |
| $e = 1$ | Parábola |
| $e > 1$ | Hipérbola |
Orientación según el signo
| Ecuación | Directriz | Apertura |
|---|---|---|
| $r = \frac{ed}{1 + e\cos\theta}$ | A la derecha | Hacia la izquierda |
| $r = \frac{ed}{1 - e\cos\theta}$ | A la izquierda | Hacia la derecha |
| $r = \frac{ed}{1 + e\sin\theta}$ | Arriba | Hacia abajo |
| $r = \frac{ed}{1 - e\sin\theta}$ | Abajo | Hacia arriba |
2.6 Aplicaciones
Cinemática en el plano
Si la posición de una partícula es $(x(t), y(t))$:
| Cantidad | Fórmula |
|---|---|
| Vector posición | $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ |
| Velocidad | $\mathbf{v}(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle$ |
| Rapidez | $v = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}$ |
| Aceleración | $\mathbf{a}(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle$ |
Distancia recorrida
$$s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt$$
Área de superficies de revolución
Para una curva paramétrica rotada alrededor del eje $x$: $$S = 2\pi \int_a^b y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt$$
Alrededor del eje $y$: $$S = 2\pi \int_a^b x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt$$