Integrales Impropias
Introducción
Una integral impropia es una integral definida donde: 1. Uno o ambos límites de integración son infinitos (Tipo I) 2. El integrando tiene una discontinuidad en el intervalo (Tipo II)
5.1 Tipo I: Límites Infinitos
Definición
Límite superior infinito: $$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$$
Límite inferior infinito: $$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$$
Ambos límites infinitos: $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx + \int_c^{\infty} f(x)\,dx$$
donde $c$ es cualquier número real (si ambas integrales convergen).
Convergencia
La integral converge si el límite existe y es finito. La integral diverge si el límite no existe o es $\pm\infty$.
Ejemplos Fundamentales
Ejemplo 1: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$
$$= \lim_{t \to \infty} \int_1^t x^{-2}\,dx = \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]1^t = \lim{t \to \infty} \left(-\frac{1}{t} + 1\right) = 1$$
Converge a 1.
Ejemplo 2: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx$
$$= \lim_{t \to \infty} [\ln x]1^t = \lim{t \to \infty} \ln t = \infty$$
Diverge.
5.2 Tipo II: Discontinuidades
Discontinuidad en un Extremo
En el extremo izquierdo $a$: $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$$
En el extremo derecho $b$: $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)\,dx$$
Discontinuidad Interior
Si $f$ tiene discontinuidad en $c \in (a,b)$: $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$
Ambas deben converger para que la integral original converja.
Ejemplos
Ejemplo 1: $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
Discontinuidad en $x = 0$: $$= \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = 2 - 0 = 2$$
Converge a 2.
Ejemplo 2: $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx$
$$= \lim_{t \to 0^+} [\ln x]t^1 = \lim{t \to 0^+} (0 - \ln t) = \infty$$
Diverge.
5.3 Convergencia y Divergencia
Condiciones Necesarias
Para que $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ tenga posibilidad de converger: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$
⚠️ Nota: Esta condición es necesaria pero NO suficiente (ver $1/x$).
Convergencia Absoluta
$\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ converge absolutamente si: $$\int_a^{\infty} |f(x)|\,dx < \infty$$
La convergencia absoluta implica convergencia.
Convergencia Condicional
Una integral converge condicionalmente si converge pero no absolutamente.
Ejemplo: $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ converge condicionalmente.
5.4 Criterios de Comparación
Comparación Directa
Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$ para todo $x \geq a$:
- Si $\int_a^{\infty} g(x)\,dx$ converge, entonces $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ converge.
- Si $\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ diverge, entonces $\int_a^{\infty} g(x)\,dx$ diverge.
Comparación por Límite
Si $f(x), g(x) > 0$ para $x$ grande y: $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$
- Si $0 < L < \infty$: ambas convergen o ambas divergen.
- Si $L = 0$ y $\int g$ converge: $\int f$ converge.
- Si $L = \infty$ y $\int g$ diverge: $\int f$ diverge.
Aplicación
Para $\int_1^{\infty} \frac{x}{x^3 + 1}\,dx$:
Comparamos con $\frac{1}{x^2}$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x/(x^3+1)}{1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3+1} = 1$$
Como $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ converge, la integral original converge.
5.5 Integrales p
En el Infinito
$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1} & \text{si } p > 1 \ \infty & \text{si } p \leq 1 \end{cases}$$
En Cero
$$\int_0^{1} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p} & \text{si } p < 1 \ \infty & \text{si } p \geq 1 \end{cases}$$
Regla Práctica
| Comportamiento de $f(x)$ | Convergencia |
|---|---|
| $f(x) \sim \frac{1}{x^p}$ cuando $x \to \infty$ | Converge si $p > 1$ |
| $f(x) \sim \frac{1}{(x-a)^p}$ cuando $x \to a$ | Converge si $p < 1$ |
Integrales Clásicas
| Integral | Convergencia | Valor |
|---|---|---|
| $\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx$ | Sí | $1$ |
| $\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx$ | Sí | $1$ |
| $\int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx$ | Sí | $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ |
| $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ | Sí | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_1^{\infty} \frac{\ln x}{x^2}\,dx$ | Sí | $1$ |
| $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ | Sí (condicional) | $\frac{\pi}{2}$ |
Advertencias Comunes
Error del Valor Principal
Incorrecto: $$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx \neq \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon} + \int_{\varepsilon}^{1}\right) = 0$$
El valor principal de Cauchy (VP) no es lo mismo que convergencia.
La integral $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx$ diverge porque las dos partes deben converger independientemente.
Funciones que Oscilan
Para funciones oscilantes como $\sin x$ o $\cos x$: - $\int_0^{\infty} \sin x\,dx$ diverge (oscila) - $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ converge (amortiguada)