Aplicaciones Integral

Aplicaciones de la Integral

4.1 Área entre Curvas

Área con Integración Vertical

Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a,b]$: $$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$$

Caso general: Si no se sabe cuál está arriba: $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$

Área con Integración Horizontal

Cuando las curvas se expresan mejor como $x = f(y)$: $$A = \int_c^d [f(y) - g(y)] \, dy$$

donde $f(y) \geq g(y)$ (derecha menos izquierda).

Criterio de Elección

Situación Método
Curvas $y = f(x)$ Integración vertical
Curvas $x = g(y)$ Integración horizontal
Se cruzan múltiples veces Dividir en subintervalos

4.2 Volúmenes por Discos y Arandelas

Método del Disco

Al rotar $y = f(x)$ alrededor del eje $x$, cada sección transversal es un círculo de radio $f(x)$:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \pi[f(x)]^2\,dx$$

Rotación alrededor del eje $y$: $$V = \pi\int_c^d [g(y)]^2 \, dy$$

Método de la Arandela

Cuando hay un hueco (región entre dos curvas):

$$V = \pi\int_a^b \left([R(x)]^2 - [r(x)]^2\right) dx$$

donde: - $R(x)$ = radio exterior - $r(x)$ = radio interior

Rotación alrededor de Rectas Paralelas a los Ejes

Alrededor de $y = k$: $$V = \pi\int_a^b [f(x) - k]^2\,dx$$

Alrededor de $x = h$: $$V = \pi\int_c^d [g(y) - h]^2\,dy$$

4.3 Volúmenes por Capas Cilíndricas

Concepto

Se "desenrolla" un tubo cilíndrico de: - Radio: $x$ - Altura: $f(x)$ - Espesor: $dx$

Área lateral del cilindro: $2\pi x \cdot f(x)$

Fórmula General

Rotación alrededor del eje $y$: $$V = 2\pi\int_a^b x \cdot f(x) \, dx$$

Rotación alrededor del eje $x$: $$V = 2\pi\int_c^d y \cdot g(y) \, dy$$

Rotación alrededor de $x = h$

$$V = 2\pi\int_a^b |x - h| \cdot f(x) \, dx$$

Cuándo Usar Cada Método

Método Usar cuando
Discos/Arandelas Los cortes ⊥ al eje dan círculos fáciles
Capas cilíndricas Los cortes ∥ al eje son más simples

4.4 Longitud de Arco

Derivación

Un elemento de arco $ds$ satisface: $$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$

Fórmula Cartesiana

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

Fórmula Paramétrica

Si $x = x(t)$, $y = y(t)$ para $t \in [\alpha, \beta]$: $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$$

Coordenadas Polares

Si $r = f(\theta)$: $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$$

4.5 Área de Superficie de Revolución

Derivación

Un elemento de superficie es un tronco de cono: $$dS = 2\pi r \cdot ds$$

donde $r$ es el radio de rotación.

Rotación alrededor del eje $x$

$$S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

Rotación alrededor del eje $y$

$$S = 2\pi\int_a^b x\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

Forma Paramétrica (rotación alrededor de $x$)

$$S = 2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$$

4.6 Trabajo

Trabajo por Fuerza Variable

$$W = \int_a^b F(x) \, dx$$

Unidades: - SI: Joules (J) = Newton × metro - CGS: ergios = dina × cm

Aplicaciones Comunes

Resortes (Ley de Hooke)

$$F(x) = kx$$

$$W = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$$

Bombeo de Fluidos

Para bombear líquido de un tanque: $$W = \int_a^b \rho g A(y) \cdot d(y) \, dy$$

donde: - $\rho$ = densidad del fluido - $g$ = aceleración gravitacional - $A(y)$ = área de sección transversal - $d(y)$ = distancia que se eleva el elemento

Trabajo por Gravedad

Para elevar un objeto de masa $m$: $$W = \int_a^b mg \, dy = mg(b - a)$$

Cables y Cadenas

Para levantar un cable de densidad lineal $\lambda$: $$W = \int_0^L \lambda g (L - y) \, dy$$

4.7 Valor Promedio de una Función

Definición

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$: $$f_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx$$

Teorema del Valor Medio para Integrales

Si $f$ es continua en $[a,b]$, existe $c \in (a,b)$ tal que: $$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

Interpretación: La integral es igual al área de un rectángulo de base $(b-a)$ y altura $f(c)$.

Aplicaciones