Teoría de la Integral Definida

3.1 Sumas de Riemann

Partición del Intervalo

Dado un intervalo $[a, b]$, una partición $P$ divide el intervalo en $n$ subintervalos: $$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$

El ancho de cada subintervalo es: $$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$$

Para partición regular: $\Delta x = \frac{b-a}{n}$

Suma de Riemann

Elegimos un punto de muestra $x_i^*$ en cada subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i$$

Tipos de Sumas

• Suma izquierda: $x_i^* = x_{i-1}$ (extremo izquierdo)
• Suma derecha: $x_i^* = x_i$ (extremo derecho)
• Suma del punto medio: $x_i^* = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}$

3.2 Definición de Integral Definida

Definición

Si $f$ es una función continua en $[a, b]$, la integral definida de $f$ de $a$ a $b$ es:

$$\boxed{\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x}$$

donde: - $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ - $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$

Interpretación Geométrica

• Si $f(x) \geq 0$: La integral representa el área bajo la curva $y = f(x)$, sobre el eje $x$, de $x = a$ a $x = b$.
• Si $f(x) < 0$: El área se considera negativa.
• En general: Área neta (áreas arriba menos áreas abajo del eje).

Notación

$$\int_a^b f(x) \, dx = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)$$

3.3 Propiedades de la Integral Definida

Propiedades Básicas

1. Integral sobre intervalo de longitud cero: $$\int_a^a f(x) \, dx = 0$$

2. Inversión de límites: $$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$$

3. Constante multiplicativa: $$\int_a^b cf(x) \, dx = c\int_a^b f(x) \, dx$$

4. Suma y diferencia: $$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx$$

5. Aditividad respecto al intervalo: $$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$

Propiedades de Comparación

6. Si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$, entonces: $$\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$$

7. Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$, entonces: $$\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b g(x) \, dx$$

8. Acotamiento: Si $m \leq f(x) \leq M$ en $[a, b]$, entonces: $$m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a)$$

3.4 Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 1)

Enunciado

Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces la función $g$ definida por:

$$g(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad a \leq x \leq b$$

es continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$, y su derivada es:

$$\boxed{g'(x) = f(x)}$$

Interpretación

La derivada de una integral con límite variable es el integrando evaluado en ese límite.

Generalización (Regla de Leibniz)

Si los límites son funciones:

$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)$$

Ejemplo

$$\frac{d}{dx}\int_1^{x^2} \cos t \, dt = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

3.5 Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 2)

Enunciado

Si $f$ es continua en $[a, b]$, y $F$ es cualquier antiderivada de $f$ (es decir, $F' = f$), entonces:

$$\boxed{\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)}$$

Notación

$$F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$$

Significado

Este teorema conecta las dos operaciones fundamentales del cálculo: - La derivación (encontrar tasas de cambio) - La integración (encontrar acumulaciones)

Ejemplo

$$\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2$$

3.6 Sustitución en Integrales Definidas

Método

Al hacer sustitución $u = g(x)$ en una integral definida, los límites deben cambiarse:

$$\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$$

Ejemplo

$$\int_0^1 x e^{x^2} dx$$

$u = x^2$, $du = 2x \, dx$

Cuando $x = 0$: $u = 0$ Cuando $x = 1$: $u = 1$

$$= \frac{1}{2}\int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2}[e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$$

3.7 Integrales de Funciones Pares e Impares

Función Par

$f(-x) = f(x)$ (simétrica respecto al eje $y$)

$$\boxed{\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx}$$

Ejemplos: $x^2$, $\cos x$, $\lvert x \rvert$

Función Impar

$f(-x) = -f(x)$ (simétrica respecto al origen)

$$\boxed{\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0}$$

Ejemplos: $x$, $x^3$, $\sin x$

Ejemplos de Aplicación

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \, dx = 0 \quad \text{(impar)}$$

$$\int_{-2}^{2} x^4 \, dx = 2\int_0^2 x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$$