Teoría de Técnicas de Integración

2.1 Sustitución (Cambio de Variable)

Teorema Fundamental

Si $u = g(x)$ es una función diferenciable y $f$ es continua en el rango de $g$, entonces:

$$\boxed{\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du}$$

Procedimiento

1. Identificar $u = g(x)$
2. Calcular $du = g'(x) \, dx$
3. Sustituir todo en términos de $u$
4. Integrar
5. Regresar a variable original

Ejemplo

$$\int 2x \cos(x^2) \, dx$$

Sea $u = x^2$, entonces $du = 2x \, dx$

$$= \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$

2.2 Integración por Partes

Fórmula

Si $u$ y $v$ son funciones diferenciables:

$$\boxed{\int u \, dv = uv - \int v \, du}$$

Regla LIATE

Para elegir $u$ (en orden de preferencia): 1. Logarítmicas: $\ln x$, $\log x$ 2. Inversas trigonométricas: $\arctan x$, $\arcsin x$ 3. Algebraicas: $x^n$, polinomios 4. Trigonométricas: $\sin x$, $\cos x$ 5. Exponenciales: $e^x$, $a^x$

Ejemplo

$$\int x e^x \, dx$$

Sea $u = x$ (algebraica), $dv = e^x dx$ Entonces $du = dx$, $v = e^x$

$$= xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

Casos Especiales

Partes cíclicas

$$\int e^x \sin x \, dx$$

Aplicando partes dos veces y resolviendo algebraicamente: $$\int e^x \sin x \, dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

Fórmula tabular

Para $\int x^n e^x \, dx$: derivar $x^n$ repetidamente, integrar $e^x$ repetidamente.

2.3 Integrales Trigonométricas

Tipo 1: $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$

Caso A: $m$ impar Separar un factor $\sin x$, convertir resto a $\cos x$ usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, sustituir $u = \cos x$.

Caso B: $n$ impar Separar un factor $\cos x$, convertir resto a $\sin x$, sustituir $u = \sin x$.

Caso C: Ambos pares Usar identidades de reducción: $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Tipo 2: $\int \tan^m x \sec^n x \, dx$

Caso A: $n$ par Separar $\sec^2 x$, convertir resto a $\tan x$ usando $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$, sustituir $u = \tan x$.

Caso B: $m$ impar Separar $\sec x \tan x$, convertir resto a $\sec x$, sustituir $u = \sec x$.

Integrales de Referencia

$$\int \tan x \, dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$ $$\int \sec x \, dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

2.4 Sustitución Trigonométrica

Tabla de Sustituciones

2.5 Fracciones Parciales

Requisito

El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador. Si no, hacer división de polinomios primero.

Tipos de Descomposición

Factor lineal no repetido: $(ax + b)$

$$\frac{P(x)}{(ax+b)Q(x)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{\text{resto}}{Q(x)}$$

Factor lineal repetido: $(ax + b)^n$

$$\frac{P(x)}{(ax+b)^n} = \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^n}$$

Factor cuadrático irreducible: $(ax^2 + bx + c)$

$$\frac{P(x)}{ax^2+bx+c} = \frac{Ax + B}{ax^2+bx+c}$$

Factor cuadrático repetido: $(ax^2 + bx + c)^n$

$$\frac{A_1x + B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x + B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots$$

Ejemplo

$$\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx$$

Descomposición: $$\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$

$x + 5 = A(x+2) + B(x-1)$

$x = 1$: $6 = 3A \Rightarrow A = 2$ $x = -2$: $3 = -3B \Rightarrow B = -1$

$$= \int \left(\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\right) dx = 2\ln\lvert x-1\rvert - \ln\lvert x+2\rvert + C$$

2.6 Completar el Cuadrado

Uso

Para integrales con expresiones cuadráticas $ax^2 + bx + c$.

Fórmula

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$$

Ejemplo

$$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$$

Completamos: $x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$

$$= \int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1} = \arctan(x+2) + C$$

2.7 Integrales con Radicales

Sustitución racional

Para $\sqrt[n]{ax+b}$, usar $u = \sqrt[n]{ax+b}$, entonces $u^n = ax+b$

Ejemplo

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x} + 1}$$

Sea $u = \sqrt{x}$, entonces $x = u^2$, $dx = 2u \, du$

$$= \int \frac{2u \, du}{u + 1} = 2\int \frac{u}{u+1} du = 2\int \left(1 - \frac{1}{u+1}\right) du$$

$$= 2(u - \ln\lvert u+1\rvert) + C = 2\sqrt{x} - 2\ln(\sqrt{x}+1) + C$$

2.8 Estrategias de Integración

Árbol de Decisión

1. ¿Es integral básica? → Usar tabla de fórmulas

2. ¿Hay composición de funciones? → Intentar sustitución

3. ¿Es producto de funciones diferentes? → Intentar partes

4. ¿Hay funciones trigonométricas?

5. Potencias → Identidades trigonométricas

6. $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ → Sustitución trigonométrica

7. ¿Es fracción racional? → Fracciones parciales

8. ¿Hay radicales? → Sustitución racional o trigonométrica

9. ¿Ninguna funciona? → Probar manipulación algebraica