Teoría de la Integral Indefinida
1.1 Concepto de Antiderivada
Definición
Una función $F(x)$ es una antiderivada (o primitiva) de $f(x)$ en un intervalo $I$ si:
$$F'(x) = f(x) \quad \text{para todo } x \in I$$
Ejemplo
Si $F(x) = x^3$, entonces $F'(x) = 3x^2$, por lo que $F(x) = x^3$ es una antiderivada de $f(x) = 3x^2$.
Observación Importante
Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, entonces $F(x) + C$ también lo es para cualquier constante $C$, porque: $$(F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)$$
1.2 Notación y Constante de Integración
Notación
La integral indefinida de $f(x)$ se denota:
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$
donde: - $\int$ es el símbolo de integración - $f(x)$ es el integrando - $dx$ indica la variable de integración - $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ - $C$ es la constante de integración
La Constante de Integración
La constante $C$ representa que hay infinitas antiderivadas que difieren por una constante.
Teorema: Si $F(x)$ y $G(x)$ son antiderivadas de $f(x)$ en un intervalo, entonces $F(x) - G(x) = C$ para alguna constante $C$.
1.3 Integrales de Funciones Algebraicas
Regla de la Potencia
$$\boxed{\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1}$$
Verificación: $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$ ✓
Casos Especiales
| Integral | Resultado |
|---|---|
| $\int dx$ | $x + C$ |
| $\int x \, dx$ | $\frac{x^2}{2} + C$ |
| $\int x^2 \, dx$ | $\frac{x^3}{3} + C$ |
| $\int \sqrt{x} \, dx$ | $\frac{2x^{3/2}}{3} + C$ |
| $\int \frac{1}{x^2} \, dx$ | $-\frac{1}{x} + C$ |
| $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ | $2\sqrt{x} + C$ |
Integral de $1/x$
$$\boxed{\int \frac{1}{x} \, dx = \ln\lvert x \rvert + C}$$
El valor absoluto es necesario porque $\ln x$ solo está definido para $x > 0$.
1.4 Integrales de Funciones Exponenciales
Exponencial Natural
$$\boxed{\int e^x \, dx = e^x + C}$$
Exponencial General
$$\boxed{\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a > 0, a \neq 1}$$
Verificación: $\frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\ln a}\right) = \frac{a^x \ln a}{\ln a} = a^x$ ✓
Forma Generalizada
$$\int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$$
1.5 Integrales de Funciones Logarítmicas
La integral de $\ln x$ requiere integración por partes (ver Técnicas de Integración):
$$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$$
Verificación: $$\frac{d}{dx}(x \ln x - x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x \quad ✓$$
1.6 Integrales de Funciones Trigonométricas
Funciones Básicas
| Integral | Resultado | Verificación |
|---|---|---|
| $\int \sin x \, dx$ | $-\cos x + C$ | $(-\cos x)' = \sin x$ |
| $\int \cos x \, dx$ | $\sin x + C$ | $(\sin x)' = \cos x$ |
| $\int \tan x \, dx$ | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | o $\ln\lvert\sec x\rvert + C$ |
| $\int \cot x \, dx$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ | |
| $\int \sec x \, dx$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ | |
| $\int \csc x \, dx$ | $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$ | o $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$ |
Funciones Trigonométricas al Cuadrado
| Integral | Resultado |
|---|---|
| $\int \sec^2 x \, dx$ | $\tan x + C$ |
| $\int \csc^2 x \, dx$ | $-\cot x + C$ |
| $\int \sec x \tan x \, dx$ | $\sec x + C$ |
| $\int \csc x \cot x \, dx$ | $-\csc x + C$ |
1.7 Integrales que Producen Funciones Inversas
Funciones Trigonométricas Inversas
$$\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C}$$
$$\boxed{\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C}$$
$$\boxed{\int \frac{1}{\lvert x \rvert\sqrt{x^2-1}} \, dx = \text{arcsec}\, \lvert x \rvert + C}$$
Formas Generalizadas
$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}} \, dx = \frac{1}{a}\text{arcsec}\frac{\lvert x \rvert}{a} + C$$
1.8 Propiedades de la Integral Indefinida
Linealidad
Propiedad 1: Constante multiplicativa $$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$$
Propiedad 2: Suma y diferencia $$\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$$
Combinación (Linealidad completa): $$\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx$$
Tabla Resumen de Integrales Básicas
| Función | Integral |
|---|---|
| $x^n$ $(n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x \rvert + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x \cot x$ | $-\csc x + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |