Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

4.1 Teorema de Rolle

Enunciado

Si $f$ es: 1. Continua en $[a, b]$ 2. Diferenciable en $(a, b)$ 3. $f(a) = f(b)$

Entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Interpretación Geométrica

Si una curva suave comienza y termina a la misma altura, en algún punto intermedio la tangente debe ser horizontal.

Aplicaciones

Garantizar existencia de puntos críticos
Base para el teorema del valor medio

4.2 Teorema del Valor Medio (TVM)

Enunciado

Si $f$ es: 1. Continua en $[a, b]$ 2. Diferenciable en $(a, b)$

Entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Interpretación Geométrica

La pendiente de alguna tangente iguala la pendiente de la recta secante entre los extremos.

Interpretación Física

Si $f(t)$ es posición, la velocidad instantánea en algún momento iguala la velocidad promedio.

Consecuencias

Si $f'(x) = 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es constante
Si $f'(x) = g'(x)$ en $(a,b)$, entonces $f = g + C$
Si $f'(x) > 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es estrictamente creciente

4.3 Teorema del Valor Medio Generalizado (Cauchy)

Enunciado

Si $f$ y $g$ son: 1. Continuas en $[a, b]$ 2. Diferenciables en $(a, b)$ 3. $g'(x) \neq 0$ en $(a, b)$

Entonces existe $c \in (a, b)$ tal que: $$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

Aplicación Principal

Es la base de la demostración de la Regla de L'Hôpital.

4.4 Regla de L'Hôpital

Forma $\frac{0}{0}$

Si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to a} g(x) = 0$, y existe $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Forma $\frac{\infty}{\infty}$

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ y $\lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$, aplica la misma regla.

Casos Válidos

$x \to a$ (finito)
$x \to a^+$ o $x \to a^-$
$x \to \infty$ o $x \to -\infty$

Advertencias

Verificar que sea forma indeterminada antes de aplicar
Se puede aplicar repetidamente si es necesario
No siempre funciona; el límite del cociente de derivadas puede no existir

4.5 Otras Formas Indeterminadas

Forma $0 \cdot \infty$

Reescribir como $\frac{0}{1/\infty}$ o $\frac{\infty}{1/0}$ y aplicar L'Hôpital.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$

Forma $\infty - \infty$

Combinar fracciones o racionalizar.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)$

Formas Exponenciales: $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$

Para $\lim f(x)^{g(x)}$: 1. Sea $y = f(x)^{g(x)}$ 2. $\ln y = g(x) \ln f(x)$ 3. Calcular $\lim \ln y$ 4. Si $\lim \ln y = L$, entonces $\lim y = e^L$

Ejemplo: $\lim_{x \to 0^+} x^x$ (forma $0^0$) $\ln y = x \ln x \to 0$, por lo tanto $y \to e^0 = 1$

4.6 Teorema de Taylor

Polinomio de Taylor de Grado $n$

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

Teorema de Taylor con Resto de Lagrange

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$$

donde el resto es: $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

para algún $c$ entre $a$ y $x$.

Aplicaciones

Aproximación de funciones
Estimación de errores
Análisis de comportamiento local

4.7 Series de Maclaurin

Definición

Serie de Taylor centrada en $a = 0$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Series Importantes

Exponencial: $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Seno: $$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

Coseno: $$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

Logaritmo Natural: $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 < x \leq 1)$$

Serie Geométrica: $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (\lvert x \rvert < 1)$$

Binomial: $$(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n \quad (\lvert x \rvert < 1)$$