Teoría de Aplicaciones de la Derivada

3.1 Recta Tangente y Normal

Recta Tangente

La recta tangente a $y = f(x)$ en $(a, f(a))$: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

Recta Normal

La recta normal es perpendicular a la tangente: $$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \quad (f'(a) \neq 0)$$

3.2 Razones de Cambio Relacionadas

Concepto

Cuando varias cantidades varían con el tiempo y están relacionadas por una ecuación, sus tasas de cambio también están relacionadas.

Procedimiento

1. Dibujar un diagrama e identificar variables
2. Escribir la ecuación que relaciona las variables
3. Derivar implícitamente respecto al tiempo $t$
4. Sustituir valores conocidos y resolver

3.3 Valores Extremos

Definiciones

• Máximo absoluto: $f(c) \geq f(x)$ para todo $x$ en el dominio
• Mínimo absoluto: $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ en el dominio
• Máximo relativo: $f(c) \geq f(x)$ para $x$ cerca de $c$
• Mínimo relativo: $f(c) \leq f(x)$ para $x$ cerca de $c$

Teorema de Weierstrass

Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en $[a, b]$.

Puntos Críticos

$c$ es punto crítico si $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe.

Método del Intervalo Cerrado

Para encontrar extremos absolutos de $f$ continua en $[a, b]$: 1. Encontrar puntos críticos en $(a, b)$ 2. Evaluar $f$ en puntos críticos y extremos $a$, $b$ 3. El mayor valor es el máximo, el menor es el mínimo

3.4 Criterio de la Primera Derivada

Crecimiento y Decrecimiento

• $f'(x) > 0$ en $(a, b)$ → $f$ es creciente en $(a, b)$
• $f'(x) < 0$ en $(a, b)$ → $f$ es decreciente en $(a, b)$

Prueba de Extremos

Si $c$ es punto crítico: - Si $f'$ cambia de $+$ a $-$ en $c$ → máximo relativo - Si $f'$ cambia de $-$ a $+$ en $c$ → mínimo relativo - Si $f'$ no cambia de signo → no es extremo

3.5 Criterio de la Segunda Derivada

Concavidad

• $f''(x) > 0$ → cóncava hacia arriba (∪)
• $f''(x) < 0$ → cóncava hacia abajo (∩)

Puntos de Inflexión

Un punto donde la concavidad cambia de signo. Candidatos: donde $f''(x) = 0$ o $f''(x)$ no existe.

Prueba del Extremo

Si $f'(c) = 0$: - $f''(c) > 0$ → mínimo relativo en $c$ - $f''(c) < 0$ → máximo relativo en $c$ - $f''(c) = 0$ → prueba no concluyente

3.6 Problemas de Optimización

Procedimiento

1. Entender: Leer el problema, identificar qué maximizar/minimizar
2. Diagrama: Dibujar y etiquetar variables
3. Objetivo: Escribir la función a optimizar
4. Restricción: Usar la restricción para eliminar variables
5. Derivar: Encontrar puntos críticos
6. Verificar: Confirmar que es máximo o mínimo
7. Responder: Dar la respuesta en contexto

3.7 Aproximaciones y Diferenciales

Aproximación Lineal

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

para $x$ cerca de $a$.

Diferencial

$$dy = f'(x) \, dx$$

Propagación de Errores

Si $y = f(x)$ y $\Delta x$ es el error en $x$: $$\Delta y \approx f'(x) \Delta x$$

Error relativo: $\frac{\Delta y}{y} \approx \frac{f'(x)}{f(x)} \Delta x$

3.8 Análisis Completo de Funciones

Pasos

1. Dominio
2. Intersecciones: con ejes $x$ e $y$
3. Simetría: par, impar, periódica
4. Asíntotas: verticales, horizontales, oblicuas
5. Intervalos de crecimiento/decrecimiento
6. Máximos y mínimos relativos
7. Concavidad y puntos de inflexión
8. Graficar

Asíntota Oblicua

Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + b)] = 0$, entonces $y = mx + b$ es asíntota oblicua.

3.9 Método de Newton-Raphson

Fórmula

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Procedimiento

1. Elegir $x_0$ (aproximación inicial)
2. Iterar hasta convergencia
3. El límite es una raíz de $f$

Convergencia

• Funciona bien si $x_0$ está cerca de la raíz
• Puede fallar si $f'(x_n) \approx 0$