Teoría de la Derivada

2.1 Definición de Derivada

Definición por Límite

La derivada de $f(x)$ en $x = a$ es:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Equivalentemente: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

Notaciones

Notación	Se lee
$f'(x)$	"f prima de x"
$\frac{df}{dx}$	"derivada de f respecto a x"
$\frac{d}{dx}f(x)$	"derivada de f de x"
$Df(x)$	"D de f de x"

Interpretación Geométrica

$f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$.

Interpretación Física

Si $s(t)$ es posición, entonces $s'(t)$ es velocidad instantánea. Si $v(t)$ es velocidad, entonces $v'(t) = s''(t)$ es aceleración.

2.2 Derivadas de Funciones Elementales

Funciones Algebraicas

Función	Derivada
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$

Funciones Trigonométricas

Función	Derivada
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$

Funciones Trigonométricas Inversas

Función	Derivada
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$-\frac{1}{1+x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\frac{1}{\lvert x \rvert\sqrt{x^2-1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$-\frac{1}{\lvert x \rvert\sqrt{x^2-1}}$

2.3 Reglas de Diferenciación

Sean $f$ y $g$ funciones diferenciables y $c$ constante.

Regla de la Constante

$$\frac{d}{dx}[c] = 0$$

Regla del Múltiplo Constante

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)$$

Regla de la Suma/Resta

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Regla del Producto

$$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Regla del Cociente

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

2.4 Regla de la Cadena

Si $y = f(g(x))$, entonces: $$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Notación de Leibniz

Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Regla de la Cadena Generalizada

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))]^n = n[f(g(x))]^{n-1} \cdot f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Ejemplos Importantes

$\frac{d}{dx}[\sin(3x)] = 3\cos(3x)$
$\frac{d}{dx}[e^{x^2}] = 2xe^{x^2}$
$\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{2x}{x^2+1}$

2.5 Derivación Implícita

Cuando $y$ está definida implícitamente por $F(x,y) = 0$:

Procedimiento

Derivar ambos lados respecto a $x$
Aplicar regla de la cadena: $\frac{d}{dx}[y^n] = ny^{n-1}\frac{dy}{dx}$
Despejar $\frac{dy}{dx}$

Ejemplo

Para $x^2 + y^2 = 25$: $$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

2.6 Derivadas de Orden Superior

Segunda Derivada

$$f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left[\frac{df}{dx}\right]$$

n-ésima Derivada

$$f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}$$

Interpretación

$f'(x)$: velocidad (tasa de cambio)
$f''(x)$: aceleración (tasa de cambio de la tasa de cambio)
$f''(x) > 0$: concavidad hacia arriba
$f''(x) < 0$: concavidad hacia abajo

2.7 Derivadas de Funciones Inversas

Si $f$ es invertible y diferenciable: $$\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

O equivalentemente, si $y = f^{-1}(x)$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

2.8 Derivación Logarítmica

Cuándo Usar

Productos de muchos factores
Cocientes complicados
Funciones de la forma $[f(x)]^{g(x)}$

Procedimiento

Tomar logaritmo natural de ambos lados: $\ln y = \ln f(x)$
Derivar implícitamente
Despejar $\frac{dy}{dx}$

Ejemplo

Para $y = x^x$: $$\ln y = x \ln x$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ $$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

Diferenciabilidad y Continuidad

Teorema

Si $f$ es diferenciable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$.

Contrapositivo: Si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es diferenciable en $a$.

Cuidado

El recíproco NO es cierto: $f(x) = \lvert x \rvert$ es continua en $x = 0$ pero no diferenciable ahí.

Puntos de No Diferenciabilidad

Esquinas (picos)
Cúspides
Discontinuidades
Tangentes verticales