Teoría de Límites

1.1 Concepto de Límite

Definición Intuitiva

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$ si los valores de $f(x)$ se aproximan arbitrariamente a $L$ cuando $x$ se aproxima a $a$ (sin ser igual a $a$).

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Interpretación: "Cuando $x$ está muy cerca de $a$, $f(x)$ está muy cerca de $L$."

Definición Formal (Épsilon-Delta)

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

si y solo si: para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que:

$$0 < \lvert x - a \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$$

Significado: - $\varepsilon$ representa qué tan cerca queremos que esté $f(x)$ de $L$ - $\delta$ representa qué tan cerca debe estar $x$ de $a$ para lograrlo - La condición $0 < \lvert x - a \rvert$ excluye el punto $x = a$

1.2 Límites Laterales

Límite por la Derecha

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

$x$ se aproxima a $a$ desde valores mayores que $a$.

Límite por la Izquierda

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$$

$x$ se aproxima a $a$ desde valores menores que $a$.

Teorema de Existencia

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

El límite existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales.

1.3 Propiedades de los Límites

Sean $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$ donde $L, M \in \mathbb{R}$.

Álgebra de Límites

Teorema del Emparedado (Sándwich)

Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ para todo $x$ cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$), y: $$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$$

Entonces: $\lim_{x \to a} f(x) = L$

1.4 Técnicas de Evaluación

Sustitución Directa

Si $f$ es continua en $a$: $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Funciona para: polinomios, racionales (cuando el denominador ≠ 0), exponenciales, logarítmicas, trigonométricas.

Formas Indeterminadas

Cuando la sustitución directa produce: - $\frac{0}{0}$ - Requiere técnica algebraica - $\frac{\infty}{\infty}$ - Requiere simplificación o L'Hôpital - $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$ - Requieren manipulación

Factorización

Para $\frac{0}{0}$, factorizar y cancelar:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$

Racionalización

Multiplicar por el conjugado:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$$

Simplificación de Fracciones Complejas

Multiplicar por el común denominador.

1.5 Límites Trigonométricos Fundamentales

Límites Básicos

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

Consecuencias

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{x} = a$$

1.6 Límites al Infinito

Definición

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$

significa que $f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ crece sin límite.

Límites Básicos

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad (n > 0)$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

$$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$

Funciones Racionales

Para $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P$ tiene grado $n$ y $Q$ tiene grado $m$:

Técnica: Dividir numerador y denominador entre la mayor potencia de $x$ en el denominador.

Asíntotas Horizontales

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, entonces $y = L$ es una asíntota horizontal.

1.7 Límites Infinitos

Definición

$$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$

significa que $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ se aproxima a $a$.

$$\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$

significa que $f(x)$ decrece sin límite cuando $x$ se aproxima a $a$.

Asíntotas Verticales

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ o $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical.

Reglas de Operación con Infinitos

Cuidado: $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$ son indeterminadas.

1.8 Continuidad

Definición

Una función $f$ es continua en $a$ si: 1. $f(a)$ está definida 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Tipos de Discontinuidad

Teoremas de Continuidad

1. Suma, resta, producto de funciones continuas son continuas
2. Cociente de continuas es continuo donde el denominador ≠ 0
3. Composición de funciones continuas es continua

Funciones Continuas en Todo su Dominio

• Polinomios
• Funciones racionales (donde denominador ≠ 0)
• $e^x$, $\ln x$ (en su dominio)
• Funciones trigonométricas (en su dominio)

1.9 Teorema del Valor Intermedio

Enunciado

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $k$ es cualquier valor entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$.

Corolario (Existencia de Raíces)

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Aplicación

Para demostrar que una ecuación tiene solución en un intervalo: 1. Definir $f(x) = $ lado izquierdo − lado derecho 2. Verificar que $f$ es continua 3. Encontrar $a, b$ donde $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos 4. Concluir por TVI que existe raíz en $(a, b)$