Determinantes

Teoría de Determinantes

2.1 Determinante de Matrices 2×2 y 3×3

Determinante $2 \times 2$

$$\det(A) = \det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Notación alternativa: $|A|$ o $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$

Determinante $3 \times 3$ (Regla de Sarrus)

$$\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Fórmula: $$= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$ $$- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

Nemotécnica: Diagonales principales (+) menos diagonales secundarias (−).

Interpretación Geométrica

2.2 Propiedades de Determinantes

Propiedades Fundamentales

  1. $\det(I_n) = 1$

  2. $\det(A^T) = \det(A)$

  3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$

  4. Si $A$ es invertible: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

  5. $\det(cA) = c^n \det(A)$ para matriz $n \times n$

Efecto de Operaciones Elementales de Fila

Operación Efecto en $\det$
Intercambiar dos filas Cambia de signo
Multiplicar fila por $k$ Multiplica det por $k$
Sumar múltiplo de fila a otra No cambia

Propiedades Especiales

$$\det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \ 0 & a_{22} & * \ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$$

2.3 Cofactores y Menores

Menor

El menor $M_{ij}$ es el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila $i$ y columna $j$.

Ejemplo: Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$$M_{11} = \det\begin{pmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{pmatrix} = 45 - 48 = -3$$

Cofactor

El cofactor $C_{ij}$ incluye el signo: $$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

Patrón de signos: $$\begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \ - & + & - & \cdots \ + & - & + & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$

2.4 Expansión por Cofactores (Método de Laplace)

Expansión por Fila

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}$$

Expansión por Columna

$$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}$$

Estrategia

Elegir la fila o columna con más ceros para minimizar cálculos.

Ejemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 3 & 1 & 0 \ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Expandiendo por primera fila: $$\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13}$$

$$= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 4 & 5 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 3 & 1 \ 0 & 4 \end{vmatrix}$$

$$= 1(5) + 2(12) = 29$$

2.5 Matriz Adjunta

Definición

La matriz de cofactores es $C = (C_{ij})$.

La matriz adjunta (o adjugada) es la transpuesta de la matriz de cofactores: $$\text{adj}(A) = C^T$$

Fórmula para la Inversa

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$

Ejemplo: Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Cofactores: - $C_{11} = 4$, $C_{12} = -3$ - $C_{21} = -2$, $C_{22} = 1$

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$

2.6 Regla de Cramer

Teorema

Para el sistema $Ax = b$ donde $A$ es $n \times n$ con $\det(A) \neq 0$:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

donde $A_i$ es la matriz $A$ con la columna $i$ reemplazada por el vector $b$.

Ejemplo

Resolver: $$\begin{cases} 2x + y = 5 \ 3x + 4y = 6 \end{cases}$$

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 5 \ 6 \end{pmatrix}$$

$$\det(A) = 8 - 3 = 5$$

$$x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \ 6 & 4 \end{vmatrix}}{5} = \frac{20 - 6}{5} = \frac{14}{5}$$

$$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \ 3 & 6 \end{vmatrix}}{5} = \frac{12 - 15}{5} = -\frac{3}{5}$$

Limitaciones