Teoría de Matrices

1.1 Definición y Notación

Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

Notación

• $A_{m \times n}$ o $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$: matriz con $m$ filas y $n$ columnas
• $a_{ij}$ o $(A)_{ij}$: elemento en la fila $i$, columna $j$
• Forma compacta: $A = (a_{ij})$

Igualdad de Matrices

$A = B$ si y solo si tienen las mismas dimensiones y $a_{ij} = b_{ij}$ para todo $i, j$.

1.2 Tipos de Matrices

Por su forma

Matrices Cuadradas Especiales

Matriz diagonal: $$D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & d_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix} = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$$

Matriz identidad: $$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

Matriz triangular superior: $$U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \ 0 & u_{22} & u_{23} \ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$$

Matriz triangular inferior: $$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \ l_{21} & l_{22} & 0 \ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}$$

Matriz nula: $O$ donde todos los elementos son cero.

1.3 Operaciones Básicas

Suma de Matrices

Si $A$ y $B$ son de la misma dimensión $m \times n$: $$(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$$

Propiedades: 1. Conmutativa: $A + B = B + A$ 2. Asociativa: $(A + B) + C = A + (B + C)$ 3. Elemento neutro: $A + O = A$ 4. Inverso aditivo: $A + (-A) = O$

Multiplicación por Escalar

Si $c \in \mathbb{R}$ y $A$ es una matriz: $$(cA){ij} = c \cdot a{ij}$$

Propiedades: 1. $c(A + B) = cA + cB$ 2. $(c + d)A = cA + dA$ 3. $c(dA) = (cd)A$ 4. $1 \cdot A = A$

1.4 Multiplicación de Matrices

Definición

Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, entonces $AB$ es $m \times p$ donde: $$(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$$

Regla de dimensiones: $$(m \times n) \cdot (n \times p) = (m \times p)$$

Interpretación: Fila por Columna

El elemento $(i,j)$ del producto es el producto punto de la fila $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.

Propiedades

1. Asociativa: $(AB)C = A(BC)$
2. Distributiva: $A(B + C) = AB + AC$ y $(A + B)C = AC + BC$
3. Escalar: $c(AB) = (cA)B = A(cB)$
4. Identidad: $AI = IA = A$

⚠️ NO conmutativa: En general $AB \neq BA$

Potencias

Para matriz cuadrada $A$: - $A^0 = I$ - $A^n = A \cdot A \cdots A$ ($n$ veces) - $A^m A^n = A^{m+n}$ - $(A^m)^n = A^{mn}$

1.5 Transpuesta

Definición

La transpuesta de $A_{m \times n}$ es $A^T_{n \times m}$ where: $$(A^T){ij} = a{ji}$$

Las filas se convierten en columnas y viceversa.

Ejemplo

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

Propiedades

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A + B)^T = A^T + B^T$
3. $(cA)^T = cA^T$
4. $(AB)^T = B^T A^T$ (nota el orden)

Matrices Simétricas y Antisimétricas

Simétrica: $A = A^T$ (solo matrices cuadradas)

Antisimétrica: $A = -A^T$ (diagonal principal es cero)

Teorema: Toda matriz cuadrada se puede escribir como: $$A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$$ (parte simétrica + parte antisimétrica)

1.6 Matriz Inversa

Definición

Una matriz cuadrada $A$ es invertible (o no singular) si existe una matriz $A^{-1}$ tal que: $$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

Existencia

$A$ es invertible si y solo si $\det(A) \neq 0$.

Fórmula para $2 \times 2$

$$A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$$

Método General: Gauss-Jordan

Para encontrar $A^{-1}$: 1. Formar la matriz aumentada $(A | I)$ 2. Aplicar operaciones elementales de fila 3. Reducir a $(I | A^{-1})$

Propiedades

1. $(A^{-1})^{-1} = A$
2. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (nota el orden)
3. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
4. $(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$ para $c \neq 0$
5. $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

Matriz Ortogonal

$A$ es ortogonal si $A^T = A^{-1}$, es decir, $AA^T = A^T A = I$.

Las columnas (y filas) forman un conjunto ortonormal.