Teoría de Geometría Analítica

6.1 Sistema de coordenadas cartesianas

Definición

El plano cartesiano es un sistema de referencia formado por dos rectas numéricas perpendiculares: - Eje $x$ (abscisas): recta horizontal - Eje $y$ (ordenadas): recta vertical - Origen $O$: punto de intersección $(0, 0)$

Coordenadas de un punto

Todo punto $P$ en el plano se representa como un par ordenado $(x, y)$ donde: - $x$ = distancia horizontal desde el eje $y$ (abscisa) - $y$ = distancia vertical desde el eje $x$ (ordenada)

Cuadrantes

6.2 Fórmulas fundamentales

Distancia entre dos puntos

La distancia entre $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ es:

$$\boxed{d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$$

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras.

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ del segmento $\overline{P_1P_2}$ es:

$$\boxed{M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)}$$

División de un segmento en razón dada

El punto $P$ que divide al segmento $\overline{P_1P_2}$ en razón $r = \frac{m}{n}$ es:

$$P = \left(\frac{x_1 + rx_2}{1 + r}, \frac{y_1 + ry_2}{1 + r}\right)$$

o equivalentemente:

$$P = \left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n}\right)$$

Área de un triángulo

Para un triángulo con vértices $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$:

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right|$$

Forma de determinante: $$A = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right|$$

6.3 La línea recta

Pendiente

La pendiente $m$ de una recta que pasa por $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ es:

$$\boxed{m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan\theta}$$

donde $\theta$ es el ángulo de inclinación respecto al eje $x$ positivo.

Formas de la ecuación de la recta

Conversiones

De forma general $Ax + By + C = 0$ a pendiente-ordenada: $$m = -\frac{A}{B}, \quad b = -\frac{C}{B}$$

Rectas paralelas y perpendiculares

Ángulo entre dos rectas

$$\tan\phi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto $P_0(x_0, y_0)$ a la recta $Ax + By + C = 0$ es:

$$\boxed{d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$$

Familia de rectas

Las rectas que pasan por la intersección de $L_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ y $L_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$:

$$(A_1x + B_1y + C_1) + k(A_2x + B_2y + C_2) = 0$$

donde $k$ es un parámetro real.

6.4 La circunferencia

Definición

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación canónica (estándar)

$$\boxed{(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

donde: - $(h, k)$ = centro - $r$ = radio

Ecuación general

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Conversión a forma canónica (completando cuadrados): - Centro: $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ - Radio: $r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2}{4} - F}$

Condición de existencia: $\frac{D^2 + E^2}{4} - F > 0$

Posiciones relativas punto-circunferencia

Sea $d$ la distancia del punto al centro:

Recta tangente a la circunferencia

Desde un punto $P_1(x_1, y_1)$ sobre la circunferencia centrada en el origen:

$$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$$

Condición de tangencia para la recta $y = mx + c$ a la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$:

$$c^2 = r^2(1 + m^2)$$

6.5 La parábola

Definición

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo (foco $F$) y una recta fija (directriz $d$).

Elementos

Ecuaciones canónicas (vértice en el origen)

Ecuaciones con vértice en $(h, k)$

Ecuación general

$$Ax^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad \text{(eje vertical)}$$ $$Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad \text{(eje horizontal)}$$

Propiedad reflectora

Los rayos paralelos al eje que inciden en la parábola se reflejan hacia el foco (principio de antenas parabólicas y reflectores).

6.6 La elipse

Definición

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos $F_1$ y $F_2$) es constante.

$$\boxed{d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a}$$

Elementos

Relación fundamental

$$\boxed{c^2 = a^2 - b^2}$$

o equivalentemente: $a^2 = b^2 + c^2$

Ecuaciones canónicas (centro en el origen)

Eje mayor horizontal: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$$

• Focos: $(\pm c, 0)$
• Vértices: $(\pm a, 0)$ y $(0, \pm b)$

Eje mayor vertical: $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)$$

• Focos: $(0, \pm c)$
• Vértices: $(\pm b, 0)$ y $(0, \pm a)$

Ecuación con centro en $(h, k)$

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Excentricidad

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$

Lados rectos

Longitud del lado recto: $\frac{2b^2}{a}$

6.7 La hipérbola

Definición

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos $F_1$ y $F_2$) es constante.

$$\boxed{|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a}$$

Elementos

Relación fundamental

$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2}$$

Ecuaciones canónicas (centro en el origen)

Eje transverso horizontal: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

• Focos: $(\pm c, 0)$
• Vértices: $(\pm a, 0)$
• Asíntotas: $y = \pm\frac{b}{a}x$

Eje transverso vertical: $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$

• Focos: $(0, \pm c)$
• Vértices: $(0, \pm a)$
• Asíntotas: $y = \pm\frac{a}{b}x$

Ecuación con centro en $(h, k)$

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Asíntotas: $y - k = \pm\frac{b}{a}(x - h)$

Hipérbola equilátera

Cuando $a = b$: - Ecuación: $x^2 - y^2 = a^2$ - Asíntotas perpendiculares: $y = \pm x$ - Excentricidad: $e = \sqrt{2}$

Hipérbola rectangular

La hipérbola $xy = k$ tiene: - Asíntotas: los ejes coordenados - Es una hipérbola equilátera rotada 45°

6.8 Ecuación general de segundo grado

Forma general

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Discriminante

El discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ determina el tipo de cónica:

Casos degenerados

La ecuación puede representar: - Un punto (elipse degenerada) - Dos rectas (hipérbola degenerada) - Una recta (parábola degenerada) - Conjunto vacío (sin solución real)

6.9 Coordenadas polares

Sistema de coordenadas polares

Un punto se representa como $(r, \theta)$ donde: - $r$ = distancia al origen (polo) - $\theta$ = ángulo desde el eje polar (eje $x$ positivo)

Conversión entre sistemas

De polares a cartesianas: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

De cartesianas a polares: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\frac{y}{x}$$

6.10 Transformaciones geométricas

Traslación

Mover una figura sin rotarla ni cambiar su tamaño.

$$x' = x + h, \quad y' = y + k$$

Reflexión

Rotación

Rotar un ángulo $\theta$ alrededor del origen:

$$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$$ $$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$$

Homotecia (escala)

Cambio de tamaño con factor $k$ desde el origen:

$$x' = kx, \quad y' = ky$$