Teoría de Trigonometría
5.1 Conceptos fundamentales
Definición de ángulo
Un ángulo es la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta una posición final alrededor de un punto fijo (vértice).
| Término | Descripción |
|---|---|
| Lado inicial | Posición de partida del rayo (generalmente eje $x$ positivo) |
| Lado terminal | Posición final del rayo después de la rotación |
| Ángulo positivo | Rotación en sentido antihorario |
| Ángulo negativo | Rotación en sentido horario |
Sistemas de medición angular
Grados sexagesimales: - Una vuelta completa = $360°$ - Un grado = $60'$ (minutos) - Un minuto = $60''$ (segundos)
Radianes: - Una vuelta completa = $2\pi$ rad - Un radián = ángulo central que subtiende un arco igual al radio
Conversión: $$\boxed{180° = \pi \text{ rad}}$$
$$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grados}} \cdot \frac{\pi}{180°}$$
$$\theta_{\text{grados}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180°}{\pi}$$
Ángulos notables
| Grados | Radianes |
|---|---|
| $0°$ | $0$ |
| $30°$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $45°$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $60°$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $90°$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $180°$ | $\pi$ |
| $270°$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| $360°$ | $2\pi$ |
5.2 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
Definición
Para un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\theta$:
$$\sin\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{c}$$
$$\cos\theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{c}$$
$$\tan\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{a}{b}$$
Razones recíprocas
$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{c}{a}$$
$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{c}{b}$$
$$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{b}{a}$$
Tabla de valores exactos
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45°$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | $\nexists$ |
Técnica mnemotécnica
SOH-CAH-TOA: - Seno = Opuesto / Hipotenusa - Coseno = Adyacente / Hipotenusa - Tangente = Opuesto / Adyacente
Figura 5.2.1: Triángulo rectángulo con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
5.3 Funciones trigonométricas en el círculo unitario
Definición general
Para cualquier ángulo $\theta$ en posición estándar, si $(x, y)$ es el punto donde el lado terminal intersecta el círculo unitario:
$$\sin\theta = y \qquad \cos\theta = x \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}$$
Signos por cuadrante
| Cuadrante | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| I ($0° - 90°$) | $+$ | $+$ | $+$ |
| II ($90° - 180°$) | $+$ | $-$ | $-$ |
| III ($180° - 270°$) | $-$ | $-$ | $+$ |
| IV ($270° - 360°$) | $-$ | $+$ | $-$ |
Regla mnemotécnica "ASTC" (All Students Take Calculus): - All (I): todas positivas - Sin (II): solo seno positivo - Tan (III): solo tangente positiva - Cos (IV): solo coseno positivo
Ángulos de referencia
El ángulo de referencia $\theta_r$ es el ángulo agudo formado entre el lado terminal y el eje $x$.
| Cuadrante | Ángulo de referencia |
|---|---|
| I | $\theta_r = \theta$ |
| II | $\theta_r = 180° - \theta$ |
| III | $\theta_r = \theta - 180°$ |
| IV | $\theta_r = 360° - \theta$ |
Figura 5.3.1: Círculo unitario mostrando las coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$ y los signos por cuadrante.
5.4 Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades pitagóricas
$$\boxed{\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1}$$
$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$$
$$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$
Identidades de cociente
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
$$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
Identidades recíprocas
$$\sin\theta \cdot \csc\theta = 1$$ $$\cos\theta \cdot \sec\theta = 1$$ $$\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$$
Identidades de paridad
| Función par | Función impar |
|---|---|
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ |
| $\sec(-\theta) = \sec\theta$ | $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ |
| $\cot(-\theta) = -\cot\theta$ | |
| $\csc(-\theta) = -\csc\theta$ |
Figura 5.4.1: Representación geométrica de la identidad fundamental $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
5.5 Identidades de suma y diferencia
Suma de ángulos
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$
Diferencia de ángulos
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$
$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$$
Figura 5.5.1: Interpretación geométrica de las identidades de suma y diferencia de ángulos.
5.6 Identidades de ángulo doble y mitad
Ángulo doble
$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$
$$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$$
$$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$
Ángulo mitad
$$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$$
$$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$
$$\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$$
Nota: El signo $\pm$ depende del cuadrante donde se ubica $\frac{\theta}{2}$.
Figura 5.6.1: Visualización de las identidades de ángulo doble: $\sin(2\theta)$ y $\cos(2\theta)$.
5.7 Transformaciones producto-suma
Producto a suma
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$$
$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$$
$$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$$
Suma a producto
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
5.8 Resolución de triángulos oblicuángulos
Ley de senos
Para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ opuestos a los ángulos $A, B, C$:
$$\boxed{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R}$$
donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.
Casos de aplicación: - ALA: Dos ángulos y un lado - LLA: Dos lados y ángulo opuesto (caso ambiguo)
Caso ambiguo (LLA)
Cuando se conocen dos lados $a, b$ y el ángulo $A$ opuesto al lado $a$:
| Condición | Soluciones |
|---|---|
| $a < b\sin A$ | 0 (imposible) |
| $a = b\sin A$ | 1 (triángulo rectángulo) |
| $b\sin A < a < b$ | 2 (caso ambiguo) |
| $a \geq b$ | 1 |
Ley de cosenos
$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$$
Formas equivalentes: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$
Para encontrar ángulos: $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$
Casos de aplicación: - LAL: Dos lados y ángulo comprendido - LLL: Tres lados conocidos
Ley de tangentes
$$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}$$
Figura 5.8.1: Ley de senos: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
Figura 5.8.2: Ley de cosenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
5.9 Áreas de triángulos
Fórmulas de área
Con base y altura: $$A = \frac{1}{2}bh$$
Con dos lados y ángulo comprendido: $$A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$
Fórmula de Herón (conociendo los tres lados): $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
donde $s = \frac{a + b + c}{2}$ es el semiperímetro.
5.10 Funciones trigonométricas inversas
Definiciones y dominios
| Función | Notación | Dominio | Rango |
|---|---|---|---|
| Arcoseno | $\arcsin x$ o $\sin^{-1}x$ | $[-1, 1]$ | $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ |
| Arcocoseno | $\arccos x$ o $\cos^{-1}x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |
| Arcotangente | $\arctan x$ o $\tan^{-1}x$ | $\mathbb{R}$ | $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ |
| Arcocotangente | $\text{arccot}\, x$ o $\cot^{-1}x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ |
| Arcosecante | $\text{arcsec}\, x$ o $\sec^{-1}x$ | $\lvert x \rvert \geq 1$ | $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ |
| Arcocosecante | $\text{arccsc}\, x$ o $\csc^{-1}x$ | $\lvert x \rvert \geq 1$ | $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ |
Propiedades importantes
$$\sin(\arcsin x) = x \quad \text{para } x \in [-1, 1]$$ $$\arcsin(\sin\theta) = \theta \quad \text{para } \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$
Identidades útiles
$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$
$$\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{si } x > 0 \ -\frac{\pi}{2} & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
Figura 5.10.1: Gráficas de las funciones inversas $\arcsin x$, $\arccos x$ y $\arctan x$.
5.11 Gráficas de funciones trigonométricas
Función seno: $y = A\sin(Bx + C) + D$
| Parámetro | Efecto | Fórmula |
|---|---|---|
| $A$ | Amplitud | $\lvert A \rvert$ |
| $B$ | Frecuencia angular | Periodo $= \frac{2\pi}{\lvert B \rvert}$ |
| $C$ | Desfase horizontal | Desfase $= -\frac{C}{B}$ |
| $D$ | Desplazamiento vertical | Línea media |
Características de las funciones básicas
| Función | Periodo | Amplitud | Dominio | Rango |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $2\pi$ | $1$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ |
| $\cos x$ | $2\pi$ | $1$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ |
| $\tan x$ | $\pi$ | $\nexists$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cot x$ | $\pi$ | $\nexists$ | $x \neq n\pi$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sec x$ | $2\pi$ | $\nexists$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
| $\csc x$ | $2\pi$ | $\nexists$ | $x \neq n\pi$ | $(-\infty, -1] \cup 1, \infty)$ |
Figura 5.11.1: Gráficas de las funciones seno y coseno mostrando amplitud, periodo y desfase.
Figura 5.11.2: Gráficas de las funciones tangente y secante con sus asíntotas verticales.
Figura 5.11.3: Efecto de los parámetros $A$, $B$, $C$, $D$ en $y = A\sin(Bx + C) + D$.
5.12 Ecuaciones trigonométricas
Metodología general
- Aislar la función trigonométrica
- Encontrar soluciones en el intervalo fundamental
- Escribir la [solución general usando periodicidad
Soluciones generales
| Ecuación | Solución general |
|---|---|
| $\sin\theta = a$ | $\theta = \arcsin a + 2n\pi$ o $\theta = \pi - \arcsin a + 2n\pi$ |
| $\cos\theta = a$ | $\theta = \pm\arccos a + 2n\pi$ |
| $\tan\theta = a$ | $\theta = \arctan a + n\pi$ |
donde $n \in \mathbb{Z}$.
📚 Nota: Este documento cubre trigonometría para nivel fundamentos.