Teoría de Geometría

4.1 Conceptos fundamentales

Elementos primitivos

Elemento	Descripción	Notación
Punto	Posición sin dimensiones	$A$, $B$, $P$
Recta	Conjunto infinito de puntos en una dirección	$\overleftrightarrow{AB}$ o $\ell$
Plano	Superficie infinita bidimensional	$\pi$, $\alpha$

Segmentos y rayos

Segmento: Porción de recta entre dos puntos. Notación: $\overline{AB}$
Rayo: Porción de recta que inicia en un punto y se extiende infinitamente. Notación: $\overrightarrow{AB}$
Longitud de segmento: $\lvert \overline{AB} \rvert$ o simplemente $AB$

Punto medio

El punto $M$ es punto medio de $\overline{AB}$ si: $$AM = MB = \frac{AB}{2}$$

Posiciones relativas

Entre rectas: | Posición | Descripción | |----------|-------------| | Paralelas | No se intersectan, misma dirección ($\ell_1 \parallel \ell_2$) | | Secantes | Se intersectan en un punto | | Perpendiculares | Se intersectan formando ángulo de 90° ($\ell_1 \perp \ell_2$) |

4.2 Ángulos

Dos rectas paralelas cortadas por una transversal mostrando ángulos

Ángulos complementarios (90°) y suplementarios (180°)

Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, cóncavo

Definición

Un ángulo es la unión de dos rayos con origen común (vértice).

Notación: $\angle ABC$ o $\angle B$ (vértice en el centro)

Clasificación por medida

Tipo	Medida	Ejemplo
Agudo	$0° < \alpha < 90°$	45°
Recto	$\alpha = 90°$	90°
Obtuso	$90° < \alpha < 180°$	120°
Llano	$\alpha = 180°$	180°
Cóncavo (reflejo)	$180° < \alpha < 360°$	270°

Ángulos complementarios y suplementarios

Complementarios: $\alpha + \beta = 90°$
Suplementarios: $\alpha + \beta = 180°$

Ángulos formados por paralelas y transversal

Cuando una transversal corta a dos rectas paralelas:

Tipo	Posición	Relación
Correspondientes	Mismo lado, uno interior y uno exterior	Iguales
Alternos internos	Lados opuestos, ambos interiores	Iguales
Alternos externos	Lados opuestos, ambos exteriores	Iguales
Conjugados internos	Mismo lado, ambos interiores	Suplementarios

Ángulos en polígonos

Suma de ángulos interiores de un polígono de $n$ lados: $$S_i = (n - 2) \cdot 180°$$

Suma de ángulos exteriores (siempre): $$S_e = 360°$$

4.3 Triángulos

Las cuatro líneas notables del triángulo: mediana, altura, mediatriz, bisectriz

Triángulo equilátero con altura, radio inscrito y circunscrito

Ángulo exterior del triángulo = suma de ángulos interiores no adyacentes

Criterios de congruencia: LLL, LAL, ALA, AAL

Clasificación de triángulos: equilátero, isósceles, escaleno

Clasificación de triángulos: acutángulo, rectángulo, obtusángulo

Clasificación por lados

Tipo	Característica
Equilátero	Tres lados iguales
Isósceles	Dos lados iguales
Escaleno	Todos los lados diferentes

Clasificación por ángulos

Tipo	Característica
Acutángulo	Tres ángulos agudos
Rectángulo	Un ángulo recto
Obtusángulo	Un ángulo obtuso

Propiedades fundamentales

Suma de ángulos interiores: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Desigualdad triangular: $a + b > c$ (para cualquier par de lados)
Ángulo exterior: Igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes

Líneas notables

Línea	Definición	Punto de concurrencia
Mediana	Une vértice con punto medio del lado opuesto	Centroide (G)
Altura	Perpendicular desde vértice al lado opuesto	Ortocentro (H)
Mediatriz	Perpendicular en punto medio de un lado	Circuncentro (O)
Bisectriz	Divide un ángulo en dos partes iguales	Incentro (I)

Propiedades del centroide

El centroide divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice.

Criterios de congruencia

Dos triángulos son congruentes si cumplen:

Criterio	Significado
LLL	Tres lados iguales
LAL	Dos lados y ángulo comprendido iguales
ALA	Dos ángulos y lado comprendido iguales
AAL	Dos ángulos y lado opuesto iguales

4.4 Cuadriláteros

Trapecio con bases, altura, mediana y fórmulas

Rombo con diagonales, perpendiculares y fórmulas

Propiedades de paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado

Diagrama jerárquico de clasificación de cuadriláteros

Clasificación

Cuadriláteros se clasifican principalmente en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Propiedades de paralelogramos

Propiedad	Descripción
Lados opuestos	Iguales y paralelos
Ángulos opuestos	Iguales
Ángulos consecutivos	Suplementarios
Diagonales	Se bisecan mutuamente

Propiedades especiales

Figura	Diagonales
Rectángulo	Iguales
Rombo	Perpendiculares
Cuadrado	Iguales y perpendiculares

Trapecio

Base mayor y base menor: lados paralelos
Mediana del trapecio: $m = \frac{B + b}{2}$

4.5 Polígonos

Polígonos regulares: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, octágono

Polígono regular

Un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

Fórmulas para polígono de $n$ lados

Propiedad	Fórmula
Suma de ángulos interiores	$(n-2) \cdot 180°$
Cada ángulo interior (regular)	$\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$
Suma de ángulos exteriores	$360°$
Cada ángulo exterior (regular)	$\frac{360°}{n}$
Número de diagonales	$\frac{n(n-3)}{2}$

Polígonos comunes

Nombre	Lados	Ángulo interior (regular)
Triángulo	3	60°
Cuadrado	4	90°
Pentágono	5	108°
Hexágono	6	120°
Octágono	8	135°
Decágono	10	144°
Dodecágono	12	150°

4.6 Circunferencia y círculo

Sector circular y segmento circular con fórmulas

Elementos principales de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, tangente

Tipos de ángulos: central, inscrito, semi-inscrito

Posiciones relativas: exteriores, tangentes ext/int, secantes, interiores

Elementos

Elemento	Definición
Centro	Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia
Radio ($r$)	Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia
Diámetro ($d$)	Cuerda que pasa por el centro; $d = 2r$
Cuerda	Segmento que une dos puntos de la circunferencia
Arco	Porción de la circunferencia
Secante	Recta que corta la circunferencia en dos puntos
Tangente	Recta que toca la circunferencia en un solo punto

Propiedades de la tangente

La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia
Desde un punto exterior, las dos tangentes tienen igual longitud

Ángulos en la circunferencia

Tipo de ángulo	Medida
Central	Igual al arco que subtiende
Inscrito	Mitad del arco que subtiende
Semi-inscrito	Mitad del arco que subtiende
Interior	Semisuma de los arcos que determina
Exterior	Semidiferencia de los arcos que determina

Teoremas importantes

Teorema del ángulo inscrito: $$\text{Ángulo inscrito} = \frac{\text{Arco}}{2}$$

Ángulo inscrito en semicírculo: Un ángulo inscrito que subtiende un diámetro es recto (90°).

4.7 Áreas de figuras planas

Triángulo con altura marcada ilustrando la fórmula del área

Fórmulas de área: cuadrado, rectángulo, triángulo, paralelogramo, trapecio, círculo

Fórmulas de área

Figura	Fórmula	Variables
Cuadrado	$A = l^2$	$l$ = lado
Rectángulo	$A = b \cdot h$	$b$ = base, $h$ = altura
Triángulo	$A = \frac{b \cdot h}{2}$	$b$ = base, $h$ = altura
Paralelogramo	$A = b \cdot h$	$b$ = base, $h$ = altura
Rombo	$A = \frac{D \cdot d}{2}$	$D$, $d$ = diagonales
Trapecio	$A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$	$B$, $b$ = bases, $h$ = altura
Polígono regular	$A = \frac{P \cdot a}{2}$	$P$ = perímetro, $a$ = apotema
Círculo	$A = \pi r^2$	$r$ = radio
Sector circular	$A = \frac{\theta}{360°} \pi r^2$	$\theta$ = ángulo central

Fórmula de Herón (triángulo)

Para un triángulo con lados $a$, $b$, $c$ y semiperímetro $s = \frac{a+b+c}{2}$: $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Perímetros

Figura	Perímetro
Cuadrado	$P = 4l$
Rectángulo	$P = 2(b + h)$
Triángulo	$P = a + b + c$
Circunferencia	$C = 2\pi r = \pi d$
Polígono regular	$P = n \cdot l$

4.8 Semejanza

Teorema de Tales: recta paralela divide lados proporcionalmente

Criterios de semejanza: AA, LAL, LLL

Definición

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero diferente tamaño.

Razón de semejanza

Si dos figuras son semejantes con razón $k$: - Lados correspondientes: $\frac{a'}{a} = k$ - Áreas correspondientes: $\frac{A'}{A} = k^2$ - Volúmenes correspondientes: $\frac{V'}{V} = k^3$

Criterios de semejanza de triángulos

Criterio	Significado
AA	Dos ángulos iguales
LAL	Dos lados proporcionales y ángulo comprendido igual
LLL	Tres lados proporcionales

Teorema de Tales

Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

4.9 Teorema de Pitágoras

Relaciones métricas: proyecciones, altura sobre hipotenusa

Representación visual del teorema de Pitágoras con cuadrados

Problema de escalera apoyada - aplicación del teorema de Pitágoras

Enunciado

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: $$c^2 = a^2 + b^2$$

donde $c$ es la hipotenusa y $a$, $b$ son los catetos.

Recíproco

Si en un triángulo se cumple $c^2 = a^2 + b^2$, entonces el triángulo es rectángulo.

Clasificación de triángulos por el teorema

Condición	Tipo de triángulo
$c^2 = a^2 + b^2$	Rectángulo
$c^2 < a^2 + b^2$	Acutángulo
$c^2 > a^2 + b^2$	Obtusángulo

Ternas pitagóricas

Terna	Múltiplos
$(3, 4, 5)$	$(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, ...
$(5, 12, 13)$	$(10, 24, 26)$, ...
$(8, 15, 17)$	$(16, 30, 34)$, ...
$(7, 24, 25)$	$(14, 48, 50)$, ...

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Si $h$ es la altura sobre la hipotenusa, y $m$, $n$ son las proyecciones de los catetos:

$$h^2 = m \cdot n$$ $$a^2 = m \cdot c$$ $$b^2 = n \cdot c$$ $$a \cdot b = c \cdot h$$

4.10 Geometría del espacio

Sólidos: prisma, pirámide, cilindro, cono, esfera

Sólidos y sus propiedades

Prisma

Propiedad	Fórmula
Volumen	$V = A_b \cdot h$
Área lateral	$A_L = P_b \cdot h$
Área total	$A_T = A_L + 2A_b$

Pirámide

Propiedad	Fórmula
Volumen	$V = \frac{1}{3} A_b \cdot h$
Área lateral	$A_L = \frac{1}{2} P_b \cdot a_p$ ($a_p$ = apotema de la pirámide)

Cilindro

Propiedad	Fórmula
Volumen	$V = \pi r^2 h$
Área lateral	$A_L = 2\pi r h$
Área total	$A_T = 2\pi r(r + h)$

Cono

Propiedad	Fórmula
Volumen	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Área lateral	$A_L = \pi r g$ ($g$ = generatriz)
Generatriz	$g = \sqrt{r^2 + h^2}$

Esfera

Propiedad	Fórmula
Volumen	$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Área superficial	$A = 4\pi r^2$

Principio de Cavalieri

Dos sólidos con igual altura tienen igual volumen si todas las secciones paralelas a la base tienen igual área.