Teoría de Álgebra

3.1 Expresiones algebraicas

Lenguaje algebraico

Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones. Los componentes fundamentales son:

Términos semejantes

Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes.

Ejemplos: - $3x^2$ y $-5x^2$ son semejantes ✓ - $2xy$ y $7xy$ son semejantes ✓ - $4x^2$ y $4x^3$ no son semejantes ✗ - $3xy$ y $3x^2y$ no son semejantes ✗

Evaluación de expresiones

Para evaluar una expresión, sustituimos las variables por valores específicos.

Ejemplo: Evaluar $2x^2 - 3x + 1$ para $x = -2$: $$2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$$

Grado de un término y polinomio

• Grado de un término: Suma de los exponentes de sus variables.
• Grado de un polinomio: El mayor grado de sus términos.

Ejemplo: En $5x^3y^2 - 2x^2y + 7x$: - Grado de $5x^3y^2$: $3 + 2 = 5$ - Grado de $-2x^2y$: $2 + 1 = 3$ - Grado de $7x$: $1$ - Grado del polinomio: 5

3.2 Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Se combinan únicamente los términos semejantes.

Ejemplo: $(3x^2 - 2x + 5) + (x^2 + 4x - 3)$ $$= (3x^2 + x^2) + (-2x + 4x) + (5 - 3) = 4x^2 + 2x + 2$$

Ejemplo: $(5x^3 - 2x + 1) - (2x^3 + x^2 - 3x + 4)$ $$= 5x^3 - 2x + 1 - 2x^3 - x^2 + 3x - 4 = 3x^3 - x^2 + x - 3$$

Multiplicación de polinomios

Cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo (propiedad distributiva).

Ejemplo: $(2x + 3)(x^2 - 2x + 1)$ $$= 2x(x^2 - 2x + 1) + 3(x^2 - 2x + 1)$$ $$= 2x^3 - 4x^2 + 2x + 3x^2 - 6x + 3$$ $$= 2x^3 - x^2 - 4x + 3$$

División de polinomios

División larga

Para dividir $P(x) \div D(x)$: 1. Dividir el primer término de $P$ entre el primer término de $D$ 2. Multiplicar el cociente por $D$ y restar de $P$ 3. Repetir hasta que el grado del residuo sea menor que el de $D$

Ejemplo: $(x^3 - 2x^2 + x - 3) \div (x - 1)$

        x² - x + 0
       ___________
x - 1 | x³ - 2x² + x - 3
        x³ -  x²
        _________
             -x² + x
             -x² + x
             _______
                  0 - 3

Cociente: $x^2 - x$, Residuo: $-3$

Teorema del residuo

Si $P(x)$ se divide entre $(x - a)$, el residuo es $P(a)$.

Ejemplo: El residuo de $P(x) = x^3 - 2x + 1$ entre $(x - 2)$ es: $$P(2) = 8 - 4 + 1 = 5$$

División sintética (Ruffini)

Método abreviado para dividir por $(x - a)$:

Ejemplo: $(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \div (x - 2)$

Cociente: $2x^2 + x + 6$, Residuo: $7$

3.3 Productos notables

Fórmulas fundamentales

Binomio de Newton

Para $(a + b)^n$: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Los coeficientes se obtienen del Triángulo de Pascal:

n=0:          1
n=1:        1   1
n=2:      1   2   1
n=3:    1   3   3   1
n=4:  1   4   6   4   1

Ejemplo: $(x + 2)^4 = x^4 + 4(x^3)(2) + 6(x^2)(4) + 4(x)(8) + 16$ $$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$$

3.4 Factorización

Tipos de factorización

1. Factor común

Extraer el máximo factor común de todos los términos.

$$6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$$

2. Agrupación

Agrupar términos que compartan factores comunes.

$$xy + 2x + 3y + 6 = x(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x + 3)$$

3. Trinomio cuadrado perfecto

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

Ejemplo: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

4. Diferencia de cuadrados

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

Ejemplo: $4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$

5. Trinomio de la forma $x^2 + bx + c$

Buscar dos números que sumen $b$ y multipliquen $c$.

Ejemplo: $x^2 + 5x + 6$ - Buscamos $m + n = 5$ y $m \cdot n = 6$ - $m = 2$, $n = 3$ - $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

6. Trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ (con $a \neq 1$)

Método AC: 1. Multiplicar $a \cdot c$ 2. Buscar dos números que sumen $b$ y multipliquen $ac$ 3. Reescribir y factorizar por agrupación

Ejemplo: $6x^2 + 7x - 3$ - $ac = 6 \times (-3) = -18$ - Números: $9$ y $-2$ (suman 7, multiplican -18) - $6x^2 + 9x - 2x - 3 = 3x(2x + 3) - 1(2x + 3) = (2x + 3)(3x - 1)$

7. Suma y diferencia de cubos

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Ejemplo: $8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$

3.5 Fracciones algebraicas

Simplificación

Para simplificar, factorizamos numerador y denominador, luego cancelamos factores comunes.

Ejemplo: $$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}, \quad x \neq -3$$

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y resta

$$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}$$

Ejemplo: $$\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 1}{x^2 - 1}$$

Multiplicación

$$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$$

División

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$$

Fracciones complejas

Una fracción compleja tiene fracciones en el numerador y/o denominador.

Ejemplo: $$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y + x}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{y + x}{y - x}$$

3.6 Ecuaciones lineales

Ecuación de primer grado

Una ecuación lineal tiene la forma $ax + b = 0$ con $a \neq 0$.

Método de solución: 1. Eliminar paréntesis (distribuir) 2. Eliminar denominadores (multiplicar por MCM) 3. Agrupar términos con variable a un lado 4. Agrupar constantes al otro lado 5. Despejar la variable

Ejemplo: $\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 2$

Multiplicamos por MCM(3, 4) = 12: $$4(2x + 1) - 3(x - 2) = 24$$ $$8x + 4 - 3x + 6 = 24$$ $$5x + 10 = 24$$ $$5x = 14$$ $$x = \frac{14}{5}$$

Ecuaciones literales

Despejar una variable específica de una fórmula.

Ejemplo: Despejar $r$ de $A = \pi r^2$: $$r^2 = \frac{A}{\pi}$$ $$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

3.7 Ecuaciones cuadráticas

Forma general

$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$$

Métodos de solución

1. Por factorización

Si $ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)$, entonces $x = r_1$ o $x = r_2$.

Ejemplo: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $$(x - 2)(x - 3) = 0$$ $$x = 2 \quad \text{o} \quad x = 3$$

2. Completar el cuadrado

Ejemplo: $x^2 + 6x - 7 = 0$ $$x^2 + 6x = 7$$ $$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$$ $$(x + 3)^2 = 16$$ $$x + 3 = \pm 4$$ $$x = 1 \quad \text{o} \quad x = -7$$

3. Fórmula general (cuadrática)

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ejemplo: $2x^2 - 3x - 2 = 0$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$ $$x = 2 \quad \text{o} \quad x = -\frac{1}{2}$$

Discriminante

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina la naturaleza de las raíces:

3.8 Sistemas de ecuaciones

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

1. Despejar una variable de una ecuación
2. Sustituir en la otra ecuación
3. Resolver la ecuación resultante
4. Sustituir para encontrar la otra variable

Ejemplo: $$\begin{cases} 2x + y = 7 \ x - y = 2 \end{cases}$$

De la segunda: $x = y + 2$

Sustituyendo: $2(y + 2) + y = 7 \Rightarrow 3y + 4 = 7 \Rightarrow y = 1$

Entonces: $x = 1 + 2 = 3$

Solución: $(3, 1)$

Método de eliminación (reducción)

1. Multiplicar ecuaciones para que los coeficientes de una variable sean opuestos
2. Sumar las ecuaciones para eliminar esa variable
3. Resolver y sustituir

Ejemplo: $$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$

Sumando: $8x = 16 \Rightarrow x = 2$

Sustituyendo: $6 + 2y = 12 \Rightarrow y = 3$

Método de determinantes (Regla de Cramer)

Para $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$$

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\Delta}$$

$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\Delta}$$

Clasificación de sistemas

Sistemas 3×3

Se resuelven por: - Eliminación sucesiva - Regla de Cramer (determinantes 3×3) - Método de Gauss

3.9 Desigualdades

Propiedades de las desigualdades

Inecuaciones lineales

Ejemplo: $3x - 7 < 2x + 5$ $$x < 12$$ Solución: $(-\infty, 12)$

Inecuaciones cuadráticas

Método: 1. Llevar a la forma $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ 2. Factorizar y encontrar raíces 3. Usar tabla de signos o gráfica

Ejemplo: $x^2 - x - 6 > 0$ $$(x - 3)(x + 2) > 0$$

Solución: $(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Inecuaciones con valor absoluto

Ejemplo: $|2x - 3| \leq 5$ $$-5 \leq 2x - 3 \leq 5$$ $$-2 \leq 2x \leq 8$$ $$-1 \leq x \leq 4$$

3.10 Exponentes y radicales algebraicos

Leyes de exponentes (extensión)

Simplificación de expresiones con radicales

Propiedades de radicales

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$$ $$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$

Racionalización

Monomio: $$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

Binomio con raíz: $$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$$

Ejemplo: $$\frac{6}{2 + \sqrt{3}} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 6(2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3}$$

Ecuaciones con radicales

Método: 1. Aislar el radical 2. Elevar ambos lados a la potencia adecuada 3. Resolver la ecuación resultante 4. Verificar soluciones (pueden aparecer soluciones extrañas)

Ejemplo: $\sqrt{x + 3} = x - 3$

Elevando al cuadrado: $$x + 3 = x^2 - 6x + 9$$ $$x^2 - 7x + 6 = 0$$ $$(x - 1)(x - 6) = 0$$ $$x = 1 \text{ o } x = 6$$

Verificación: - $x = 1$: $\sqrt{4} = -2$ ✗ (falso) - $x = 6$: $\sqrt{9} = 3$ ✓

Solución: $x = 6$