Teoría de Aritmética

La aritmética es la rama más antigua de las matemáticas, fundamental para todas las demás áreas. Dominar sus conceptos es esencial para el éxito en álgebra, cálculo y matemáticas superiores.

2.1 Sistemas numéricos

Números naturales $\mathbb{N}$

$$\mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, 5, \ldots}$$

• Usados para contar.
• Cerrados bajo suma y multiplicación.
• No cerrados bajo resta ni división.

Nota: Algunos autores incluyen el 0 en $\mathbb{N}$. Escribimos $\mathbb{N}_0 = {0, 1, 2, 3, \ldots}$.

Números enteros $\mathbb{Z}$

$$\mathbb{Z} = {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots}$$

• Incluyen negativos y el cero.
• Cerrados bajo suma, resta y multiplicación.
• No cerrados bajo división.

Números racionales $\mathbb{Q}$

$$\mathbb{Q} = \left{ \frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right}$$

• Todo número que puede expresarse como fracción de enteros.
• Incluyen decimales finitos y periódicos.
• Cerrados bajo las cuatro operaciones (excepto división por cero).

Ejemplos: $\frac{3}{4} = 0.75$, $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, $-\frac{7}{2} = -3.5$

Números irracionales $\mathbb{I}$

Números que no pueden expresarse como fracción de enteros.

• Decimales infinitos no periódicos.
• Ejemplos: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\pi \approx 3.14159265...$, $e \approx 2.71828...$

Demostración clásica: $\sqrt{2}$ es irracional (por contradicción).

Números reales $\mathbb{R}$

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

• Todos los puntos de la recta numérica.
• Cerrados bajo las cuatro operaciones básicas (excepto división por cero).

Jerarquía de conjuntos

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

2.2 Operaciones fundamentales y sus propiedades

Las cuatro operaciones básicas

Propiedades de la suma y multiplicación

Propiedad Distributiva (conecta suma y multiplicación): $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Jerarquía de operaciones (PEMDAS)

Orden de evaluación: 1. Paréntesis (y otros agrupadores) 2. Exponentes (potencias y raíces) 3. Multiplicación y División (izquierda a derecha) 4. Adición (suma) y Sustracción (izquierda a derecha)

Ejemplo: $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 4 \times 4 = 3 + 16 = 19$

Operaciones con números negativos

2.3 Divisibilidad y números primos

Divisibilidad

Definición: Decimos que $a$ divide a $b$ (escrito $a \mid b$) si existe un entero $k$ tal que $b = a \cdot k$.

Ejemplos: $3 \mid 12$ porque $12 = 3 \times 4$. Pero $3 \nmid 10$.

Criterios de divisibilidad

Números primos

Definición: Un número natural $p > 1$ es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y $p$.

Primeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Nota: 2 es el único primo par. El 1 no se considera primo.

Número compuesto: Un número natural $n > 1$ que no es primo.

Teorema fundamental de la aritmética

Todo entero $n > 1$ puede expresarse de manera única como producto de primos (salvo el orden de los factores).

$$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$$

Ejemplos: - $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ - $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ - $100 = 2^2 \cdot 5^2$

2.4 Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Máximo Común Divisor

Definición: El MCD de dos números es el mayor número que divide a ambos.

$$\text{MCD}(a, b) = \max{d : d \mid a \text{ y } d \mid b}$$

Método por factorización: 1. Descomponer ambos números en factores primos. 2. Tomar los factores comunes con el menor exponente.

Ejemplo: $\text{MCD}(60, 84)$ - $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ - $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ - Comunes: $2^2 \cdot 3 = 12$

Algoritmo de Euclides

Método eficiente para calcular el MCD:

$$\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, a \mod b)$$

Repetir hasta que el residuo sea 0.

Ejemplo: $\text{MCD}(252, 105)$ - $252 = 105 \times 2 + 42$ - $105 = 42 \times 2 + 21$ - $42 = 21 \times 2 + 0$ - MCD = 21

Mínimo Común Múltiplo

Definición: El MCM de dos números es el menor número positivo divisible por ambos.

$$\text{MCM}(a, b) = \min{m > 0 : a \mid m \text{ y } b \mid m}$$

Método por factorización: 1. Descomponer ambos números en factores primos. 2. Tomar todos los factores con el mayor exponente.

Ejemplo: $\text{MCM}(60, 84)$ - $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ - $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ - Todos: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$

Relación MCD-MCM

$$\text{MCD}(a, b) \times \text{MCM}(a, b) = a \times b$$

2.5 Fracciones

Definición y terminología

Una fracción $\frac{a}{b}$ representa $a$ partes de un todo dividido en $b$ partes iguales.

• Numerador ($a$): número de partes tomadas.
• Denominador ($b$): número de partes en que se divide el todo.

Tipos de fracciones

Operaciones con fracciones

Suma y resta (mismo denominador): $$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$$

Suma y resta (diferente denominador): $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$

Mejor práctica: Usar el MCM de los denominadores.

Multiplicación: $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

División: $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$

Simplificación

Dividir numerador y denominador por su MCD: $$\frac{a}{b} = \frac{a/\text{MCD}(a,b)}{b/\text{MCD}(a,b)}$$

Ejemplo: $\frac{24}{36} = \frac{24/12}{36/12} = \frac{2}{3}$

2.6 Decimales y porcentajes

Conversiones

Decimales periódicos

Todo racional tiene representación decimal finita o periódica.

• Finito: $\frac{3}{8} = 0.375$
• Periódico puro: $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$
• Periódico mixto: $\frac{1}{6} = 0.1\overline{6}$

Conversión de periódico a fracción: $$0.\overline{ab} = \frac{ab}{99}, \quad 0.\overline{abc} = \frac{abc}{999}$$

Ejemplo: $0.\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

Cálculos con porcentajes

• Porcentaje de una cantidad: $x\% \text{ de } n = \frac{x}{100} \times n$
• Incremento porcentual: $n_{\text{nuevo}} = n \times (1 + \frac{x}{100})$
• Descuento porcentual: $n_{\text{nuevo}} = n \times (1 - \frac{x}{100})$

2.7 Potencias y raíces

Definición de potencia

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}$$

Leyes de los exponentes

Raíces

Definición: $\sqrt[n]{a} = b$ si y solo si $b^n = a$.

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

Propiedades de las raíces

Racionalización

Eliminar raíces del denominador:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$

2.8 Razones y proporciones

Razón

Una razón compara dos cantidades: $a : b$ o $\frac{a}{b}$.

Ejemplo: En una clase con 12 hombres y 18 mujeres, la razón hombres:mujeres es $12:18 = 2:3$.

Proporción

Una proporción es la igualdad de dos razones:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{o} \quad a : b = c : d$$

Propiedad fundamental: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

Regla de tres simple

Para resolver proporciones con una incógnita:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \implies x = \frac{b \cdot c}{a}$$

Proporcionalidad directa

$y$ es directamente proporcional a $x$ si: $$y = kx \quad \text{(}k \text{ constante de proporcionalidad)}$$

Característica: Si $x$ aumenta, $y$ aumenta en la misma proporción.

Proporcionalidad inversa

$y$ es inversamente proporcional a $x$ si: $$y = \frac{k}{x} \quad \text{o equivalentemente} \quad xy = k$$

Característica: Si $x$ aumenta, $y$ disminuye.

2.9 Fundamentos de Aritmética Superior

Rol de la aritmética en aplicaciones avanzadas

La aritmética sustenta estructuras de mayor complejidad en: - Diseño de algoritmos discretos y análisis de complejidad. - Criptografía y codificación (factorización y congruencias). - Análisis de señales y discretización del continuo.

Fundamentación axiomática de $\mathbb{N}$ (Axiomas de Peano)

Sea $N$ un conjunto y $S: N \to N$ la función sucesor. Existe un elemento distinguido $1 \in N$ tal que:

1. Existencia del elemento inicial: $1 \in N$.
2. Clausura bajo sucesión: $\forall n \in N,\ S(n) \in N$.
3. Inyectividad: $S(n)=S(m) \Rightarrow n=m$.
4. Elemento no sucesor: $\nexists n \in N$ tal que $S(n)=1$.
5. Inducción: Si $A \subseteq N$ cumple $1 \in A$ y $n \in A \Rightarrow S(n) \in A$, entonces $A=N$.

Principios fundamentales

• Principio de inducción: si $P(1)$ es verdadero y $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ para todo $k\in N$, entonces $P(n)$ es verdadero para todo $n\in N$.
• Principio de buen orden: todo subconjunto no vacío de $N$ tiene elemento mínimo. Es equivalente al principio de inducción.

Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA) - Formal

Todo entero $n > 1$ puede expresarse de manera única como producto de primos (salvo el orden de los factores).

Forma canónica: Todo $n>1$ puede escribirse como: $$n=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}$$ con $p_i$ primos distintos y $\alpha_i\in \mathbb{N}$.

Esbozo de prueba: - Existencia: Por buen orden, si hubiera un $n>1$ sin factorización prima, el mínimo tal $n$ no sería primo y se escribiría $n=ab$ con $1<a,b<n$, contradiciendo la minimalidad. - Unicidad: Por el Lema de Euclides (si $p\mid ab$ entonces $p\mid a$ o $p\mid b$), cancelando primos por inducción se obtiene igualdad.

Propiedades formales de divisibilidad

Para $a,b \in \mathbb{N}$, $a$ divide a $b$ ($a\mid b$) si $\exists k \in \mathbb{N}$ tal que $b=a\,k$.

Definiciones formales de MCD y MCM

Dados $a,b>0$ con descomposiciones $a=\prod p_i^{\alpha_i}$, $b=\prod p_i^{\beta_i}$:

$$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

$$\text{mcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$$

Criterio de divisibilidad por exponentes: $a\mid b \iff \alpha_i \le \beta_i\ \forall i$.

2.10 Ejemplos Avanzados: Factorización, MCD y MCM

Ejemplo 1: Factorización prima

• $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ (dividir sucesivamente entre primos crecientes)
• $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$

Ejemplo 2: Cálculo de MCD y MCM por exponentes

Para $a=84=2^2\cdot 3^1\cdot 7^1$ y $b=231=3^1\cdot 7^1\cdot 11^1$:

MCD: Tomar mínimos exponentes (completando con 0 donde no aparece el primo): $$\gcd(84,231)=2^{\min(2,0)} \cdot 3^{\min(1,1)} \cdot 7^{\min(1,1)} \cdot 11^{\min(0,1)}=2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \cdot 11^0=21$$

MCM: Tomar máximos exponentes: $$\text{mcm}(84,231)=2^{\max(2,0)} \cdot 3^{\max(1,1)} \cdot 7^{\max(1,1)} \cdot 11^{\max(0,1)}=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11=924$$

Verificación: $84\cdot 231 = 19404$ y $21\cdot 924 = 19404$ ✓

Ejemplo 3: Ilustración del Lema de Euclides

Si $p=7$ y queremos verificar si $7 \mid (84\cdot 25)$: - Como $84=7\cdot 12$, entonces $7\mid 84$ - Se cumple: "si un primo divide a un producto, divide a al menos un factor"

Resumen de fórmulas clave